Diberikan persamaan matriks: (1 2 3 4)A=(4 3 2 1). Matriks

Soal ini tidak dapat diselesaikan tanpa informasi tambahan karena matriks A harus berukuran 4x4 dan terdapat banyak kemungkinan solusi.

Pembahasan

Diberikan persamaan matriks $(1 \ 2 \ 3 \ 4)A = (4 \ 3 \ 2 \ 1)$.
Misalkan matriks A adalah matriks $2 \times 2$ karena perkalian matriks tersebut menghasilkan matriks $1 \times 2$ (dari $(1 \ 2 \ 3 \ 4)$ yang merupakan $1 \times 4$ dan A harus $4 \times 2$ agar hasilnya $1 \times 2$? Tidak, ini terbalik.

Perkalian matriks $(1 \ 2 \ 3 \ 4)$ dengan matriks A menghasilkan $(4 \ 3 \ 2 \ 1)$.
Matriks $(1 \ 2 \ 3 \ 4)$ berukuran $1 \times 4$. Matriks $(4 \ 3 \ 2 \ 1)$ berukuran $1 \times 4$. Agar perkalian $(1 \ 2 \ 3 \ 4)A$ terdefinisi dan menghasilkan matriks berukuran $1 \times 4$, maka matriks A harus berukuran $4 \times 4$.

Misalkan matriks A adalah:
$A = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{pmatrix}$

Perkaliannya adalah:
$(1 \ 2 \ 3 \ 4) \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{pmatrix} = (4 \ 3 \ 2 \ 1)$

Ini berarti:
$(1a + 2e + 3i + 4m \ \ 1b + 2f + 3j + 4n \ \ 1c + 2g + 3k + 4o \ \ 1d + 2h + 3l + 4p) = (4 \ 3 \ 2 \ 1)$

Dengan demikian, kita memiliki sistem persamaan linear:
1) $a + 2e + 3i + 4m = 4$
2) $b + 2f + 3j + 4n = 3$
3) $c + 2g + 3k + 4o = 2$
4) $d + 2h + 3l + 4p = 1$

Ini adalah sistem persamaan dengan banyak variabel dan tidak cukup informasi untuk menentukan matriks A secara unik. Kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau ada informasi tambahan yang hilang.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa matriks yang diberikan adalah matriks $2\times2$ dan ada kesalahan penulisan, misalnya:
Jika soalnya adalah $A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, maka kita bisa mencari A dengan mengalikan kedua sisi dengan invers dari $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.
Invers dari $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Invers dari $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ adalah $\frac{1}{(1)(4)-(2)(3)} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4-6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.

Maka, $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} (4)(-2)+(3)(3/2) & (4)(1)+(3)(-1/2) \\ (2)(-2)+(1)(3/2) & (2)(1)+(1)(-1/2) \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} -8+9/2 & 4-3/2 \\ -4+3/2 & 2-1/2 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} -7/2 & 5/2 \\ -5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$

Jika matriksnya adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, maka matriks A yang ekuivalen adalah $\begin{pmatrix} -7/2 & 5/2 \\ -5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$.

Namun, berdasarkan penulisan soal yang diberikan $(1 \ 2 \ 3 \ 4)A = (4 \ 3 \ 2 \ 1)$, matriks A harus berukuran $4 	imes 4$ dan soal ini tidak memiliki solusi unik tanpa informasi tambahan.