Diberikan persegi ABCD dengan panjang rusuk 10 cm. Titik E

125/3 cm²

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep geometri dan perhitungan luas. Pertama, kita tentukan koordinat titik-titik pada persegi ABCD. Misalkan A=(0,10), B=(10,10), C=(10,0), dan D=(0,0). Karena E terletak pada AB dengan AE=5 cm, maka E=(5,10). Karena F terletak pada BC dengan FB=5 cm, maka F=(10,5).

Selanjutnya, kita cari persamaan garis CE dan AF.
Persamaan garis CE yang melalui C=(10,0) dan E=(5,10) adalah:
(y-0)/(10-0) = (x-10)/(5-10)
y/10 = (x-10)/(-5)
-5y = 10(x-10)
-5y = 10x - 100
y = -2x + 20

Persamaan garis AF yang melalui A=(0,10) dan F=(10,5) adalah:
(y-10)/(5-10) = (x-0)/(10-0)
(y-10)/(-5) = x/10
10(y-10) = -5x
10y - 100 = -5x
2y - 20 = -x
y = -x/2 + 10

Titik P adalah perpotongan garis CE dan AF. Kita samakan kedua persamaan tersebut:
-2x + 20 = -x/2 + 10
10 = 2x - x/2
10 = 3x/2
x = 20/3

Substitusikan nilai x ke salah satu persamaan untuk mencari y:
y = -2(20/3) + 20
y = -40/3 + 60/3
y = 20/3
Jadi, P = (20/3, 20/3).

Sekarang kita hitung luas DPFC. Kita bisa membagi DPFC menjadi dua segitiga, yaitu DPC dan DFC. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan rumus luas trapesium atau dengan memandang DPFC sebagai bagian dari persegi yang luasnya telah dihitung.

Luas persegi ABCD = 10 * 10 = 100 cm².
Luas segitiga AFE = 1/2 * AE * AB = 1/2 * 5 * 10 = 25 cm² (ini keliru, karena E di AB, maka alasnya AE, tingginya AD).
Mari kita hitung luas segitiga yang diketahui:
Luas segitiga ADE = 1/2 * AD * AE = 1/2 * 10 * 5 = 25 cm².
Luas segitiga EBC = 1/2 * EB * BC = 1/2 * 5 * 10 = 25 cm².
Luas segitiga DCF = 1/2 * DC * CF = 1/2 * 10 * 5 = 25 cm².

Luas segitiga ABF = 1/2 * AB * BF = 1/2 * 10 * 5 = 25 cm².
Luas segitiga CEF = 1/2 * CE * EF (ini memerlukan panjang CE dan EF).

Mari kita gunakan pendekatan vektor atau luas segitiga dengan koordinat.
Luas segitiga CDF = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * CD * CF = 1/2 * 10 * 5 = 25 cm².
Luas segitiga BCE = 1/2 * BC * BE = 1/2 * 10 * 5 = 25 cm².

Titik P membagi CE dan AF. Kita bisa menggunakan perbandingan luas segitiga.
Perhatikan segitiga ABF dan EBC. Karena AE=FB=5 dan AB=BC=10, maka EB=5 dan CF=5.
Luas segitiga ABF = 1/2 * AB * BF = 1/2 * 10 * 5 = 25.
Luas segitiga CBE = 1/2 * CB * EB = 1/2 * 10 * 5 = 25.

Karena AE = 5 dan E di AB, maka EB = 5. Karena FB = 5 dan F di BC, maka FC = 5.

Dalam segitiga BCE, CF = 5 dan CB = 10, sehingga F adalah titik tengah BC. E adalah titik tengah AB.

Perhatikan segitiga ABF dan segitiga BCE. Kedua segitiga ini kongruen (sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang: AB=BC, BF=AE, AF=CE).

Karena P adalah perpotongan CE dan AF, kita bisa menggunakan teorema Ceva atau Menelaus. Namun, mari kita gunakan kesamaan segitiga.

Perhatikan segitiga APB dan segitiga FPC. Sudut PAB = Sudut PFC (ini salah).

Perhatikan segitiga APE dan segitiga CPB. Sudut PAE = Sudut PCB (ini salah).

Mari kita gunakan perbandingan luas.
Luas segitiga ABF = 1/2 * AB * BF = 1/2 * 10 * 5 = 25.
Luas segitiga BCE = 1/2 * BC * BE = 1/2 * 10 * 5 = 25.

Karena E adalah titik tengah AB dan F adalah titik tengah BC, maka CE dan AF adalah median pada sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga ABC jika ABC adalah segitiga. Namun, ABCD adalah persegi.

Karena AE = 5 dan E pada AB, maka EB = 10 - 5 = 5. E adalah titik tengah AB.
Karena FB = 5 dan F pada BC, maka FC = 10 - 5 = 5. F adalah titik tengah BC.

Perhatikan segitiga ABF dan segitiga BCE. AE = 5, EB = 5, BF = 5, FC = 5.

Dalam persegi ABCD, kita bisa membagi menjadi dua segitiga ABC dan ADC.

Perhatikan segitiga BCE. Luasnya adalah 1/2 * BC * BE = 1/2 * 10 * 5 = 25.
Perhatikan segitiga ABF. Luasnya adalah 1/2 * AB * BF = 1/2 * 10 * 5 = 25.

Karena E adalah titik tengah AB dan F adalah titik tengah BC, maka CE dan AF adalah garis yang membagi persegi. Titik potong P membuat kita bisa menganalisis luas.

Luas segitiga ABF = 25.
Luas segitiga BCE = 25.
Luas segitiga CDF = 1/2 * CD * CF = 1/2 * 10 * 5 = 25.
Luas segitiga ADE = 1/2 * AD * AE = 1/2 * 10 * 5 = 25.

Luas persegi = 100.
Luas segitiga AFE = 1/2 * AE * AF (tidak diketahui AF).

Mari kita gunakan perbandingan pada segitiga.
Pada segitiga BCE, garis AF memotong CE di P. Kita perlu membandingkan AP/PF atau CP/PE.

Karena E adalah titik tengah AB dan F adalah titik tengah BC, maka CE dan AF adalah garis simetris. Titik potong P akan berada pada garis simetri persegi.

Perhatikan segitiga BCF dan segitiga BAE. BF=AE=5, BC=AB=10, sudut B = 90 derajat. Jadi segitiga BCF kongruen dengan segitiga BAE.

Perhatikan segitiga ABF dan segitiga BCE. AB=BC, BF=AE, sudut B = 90 derajat. Maka segitiga ABF kongruen dengan segitiga BCE.

Karena E adalah titik tengah AB dan F adalah titik tengah BC, maka CE dan AF berpotongan di pusat persegi jika B adalah sudut siku-siku dan E, F adalah titik tengah sisi-sisinya. Namun, P bukan pusat persegi. P adalah perpotongan CE dan AF.

Kita tahu P=(20/3, 20/3) dan C=(10,0), F=(10,5), D=(0,0).
Luas DPFC dapat dihitung sebagai luas segitiga DPC + luas segitiga DFC. Ini tidak benar.

DPFC adalah sebuah segiempat. Kita bisa menghitung luasnya dengan membagi menjadi dua segitiga:
Luas DPFC = Luas segitiga DPC + Luas segitiga DFC.
Luas segitiga DFC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * DC * CF = 1/2 * 10 * 5 = 25.

Untuk luas segitiga DPC, alasnya DC=10. Tingginya adalah jarak P ke garis DC (sumbu x), yaitu y-koordinat P, yaitu 20/3.
Luas segitiga DPC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 10 * (20/3) = 100/3.

Luas DPFC = Luas segitiga DPC + Luas segitiga PFC. Ini juga tidak benar.

DPFC adalah segiempat dengan titik sudut D=(0,0), P=(20/3, 20/3), F=(10,5), C=(10,0).
Kita bisa menghitung luas DPFC sebagai luas trapesium dengan memproyeksikan P dan F ke sumbu x. Namun ini tidak membentuk trapesium yang benar.

Cara lain: Luas DPFC = Luas Persegi - Luas Segitiga ADE - Luas Segitiga EBC - Luas Segitiga APB. Ini juga tidak benar.

Luas DPFC = Luas Segitiga CDF + Luas Segitiga CPF.
Luas segitiga CDF = 1/2 * CD * CF = 1/2 * 10 * 5 = 25.

Untuk luas segitiga CPF, kita bisa gunakan rumus luas dengan koordinat atau alas dan tinggi.
Alas CF terletak pada garis x=10, dengan panjang CF = 5.
Tinggi segitiga CPF adalah jarak P ke garis x=10, yaitu |10 - 20/3| = |30/3 - 20/3| = 10/3.
Luas segitiga CPF = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 5 * (10/3) = 25/3.

Luas DPFC = Luas segitiga CDF + Luas segitiga CPF = 25 + 25/3 = 75/3 + 25/3 = 100/3.

Mari kita periksa kembali. Luas DPFC = Luas Segitiga DPC + Luas Segitiga PFC. Ini benar.
Luas Segitiga DPC = 1/2 * alas DC * tinggi (y_P) = 1/2 * 10 * (20/3) = 100/3.
Luas Segitiga PFC = 1/2 * alas CF * tinggi (jarak P ke BC, yaitu |10 - x_P|) = 1/2 * 5 * (10 - 20/3) = 1/2 * 5 * (10/3) = 25/3.

Luas DPFC = 100/3 + 25/3 = 125/3.

Mari kita gunakan metode lain untuk verifikasi. Luas segitiga BCE = 25. Luas segitiga ABF = 25.
Luas persegi = 100.
Luas segitiga ADE = 25.
Luas segitiga CDF = 25.

Luas DPFC = Luas Persegi - Luas Segitiga ADE - Luas Segitiga EBC - Luas Segitiga APB. Ini tidak tepat.

Luas DPFC = Luas persegi - Luas segitiga ADE - Luas segitiga EBC - Luas segitiga APB (jika P adalah titik di dalam).

Luas DPFC = Luas segitiga BCF + Luas segitiga CDP.
Luas segitiga BCF = 1/2 * BC * CF = 1/2 * 10 * 5 = 25.

Titik P berada pada CE dan AF. P membagi CE dan AF dalam rasio tertentu.
Menggunakan teorema Menelaus pada segitiga BCE dan garis APF:
(BA/AE) * (EF/FC) * (CP/PB) = 1 (Ini salah, harusnya garis memotong sisi atau perpanjangannya).

Mari gunakan vektor.
A=(0,10), B=(10,10), C=(10,0), D=(0,0), E=(5,10), F=(10,5).
P = (1-t)C + tE = (1-t)(10,0) + t(5,10) = (10-10t+5t, 10t) = (10-5t, 10t).
P = (1-s)A + sF = (1-s)(0,10) + s(10,5) = (10s, 10-10s+5s) = (10s, 10-5s).

10-5t = 10s  => 2-t = 2s
10t = 10-5s => 2t = 2-s

Dari 2s = 2-t => s = 1 - t/2.
Substitusikan ke persamaan kedua:
2t = 2 - (1 - t/2)
2t = 2 - 1 + t/2
2t = 1 + t/2
3t/2 = 1
t = 2/3.

Maka P = (10 - 5(2/3), 10(2/3)) = (10 - 10/3, 20/3) = (20/3, 20/3).

Luas DPFC = Luas Segitiga DPC + Luas Segitiga PFC.
Luas Segitiga DPC = 1/2 |(x_D(y_P-y_C) + x_P(y_C-y_D) + x_C(y_D-y_P))|
= 1/2 |(0(20/3-0) + 20/3(0-0) + 10(0-20/3))|
= 1/2 |10(-20/3)| = 1/2 |-200/3| = 100/3.

Luas Segitiga PFC = 1/2 |(x_P(y_F-y_C) + x_F(y_C-y_P) + x_C(y_P-y_F))|
= 1/2 |(20/3(5-0) + 10(0-20/3) + 10(20/3-5))|
= 1/2 |(100/3 - 200/3 + 10(20/3-15/3))|
= 1/2 |(-100/3 + 10(5/3))|
= 1/2 |(-100/3 + 50/3)| = 1/2 |-50/3| = 25/3.

Luas DPFC = Luas Segitiga DPC + Luas Segitiga PFC = 100/3 + 25/3 = 125/3.

Jawaban yang benar adalah 125/3 cm².