Nilai limit x -> 0 (cos x-cos 5x)/(12x tan 2x)=....

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, hasilnya akan menjadi bentuk tak tentu 0/0.

Limit x → 0 (cos x - cos 5x) / (12x tan 2x)

Turunkan pembilang: d/dx (cos x - cos 5x) = -sin x - (-sin 5x * 5) = -sin x + 5 sin 5x
Turunkan penyebut: d/dx (12x tan 2x) = 12 * (tan 2x + x * sec^2(2x) * 2) = 12 tan 2x + 24x sec^2(2x)

Sekarang substitusikan x=0 ke dalam turunan pembilang dan penyebut:
Pembilang: -sin 0 + 5 sin (5*0) = -0 + 5*0 = 0
Penyebut: 12 tan 0 + 24*0 sec^2(0) = 12*0 + 0*1^2 = 0

Karena hasilnya masih 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan kedua pembilang: d/dx (-sin x + 5 sin 5x) = -cos x + 5 (cos 5x * 5) = -cos x + 25 cos 5x
Turunan kedua penyebut: d/dx (12 tan 2x + 24x sec^2(2x))
= 12 sec^2(2x) * 2 + 24 sec^2(2x) + 24x * 2 sec(2x) * (sec(2x) tan(2x) * 2)
= 24 sec^2(2x) + 24 sec^2(2x) + 96x sec^2(2x) tan(2x)
= 48 sec^2(2x) + 96x sec^2(2x) tan(2x)

Substitusikan x=0 ke dalam turunan kedua:
Pembilang: -cos 0 + 25 cos (5*0) = -1 + 25*1 = 24
Penyebut: 48 sec^2(0) + 96*0 sec^2(0) tan(0) = 48 * 1^2 + 0 = 48

Jadi, nilai limitnya adalah 24/48 = 1/2.