Diberikan suatu program linear dengan fungsi maksimum f(x,

Ketentuan (ii), (iii), dan (iv) sesuai.

Pembahasan

Program linear yang diberikan adalah:
Fungsi yang dimaksimalkan: f(x, y) = 3x + 2y
Kendala:
1. x + y >= 4
2. ax - y <= 0  => ax <= y
3. -x + 5y <= 20
4. y >= 0

Daerah penyelesaiannya berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong garis x + y = 4 dan ax - y = 0.
Titik potong ini adalah titik sudut dari daerah penyelesaian.
Untuk mencari titik potong antara x + y = 4 dan ax - y = 0:
Dari ax - y = 0, kita dapatkan y = ax.
Substitusikan y = ax ke persamaan x + y = 4:
x + ax = 4
x(1 + a) = 4
x = 4 / (1 + a)
Karena y = ax, maka y = a * (4 / (1 + a)) = 4a / (1 + a).
Jadi, titik siku-siku adalah (4/(1+a), 4a/(1+a)).

Titik ekstrem (sudut) dari daerah penyelesaian adalah tempat nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan dapat terjadi. Kita perlu menemukan koordinat titik-titik sudut ini.

Titik sudut pertama adalah titik siku-siku yang kita hitung.
Titik sudut kedua dan ketiga akan bergantung pada nilai 'a' dan bagaimana garis-garis kendala berinteraksi.

Kita perlu memeriksa ketentuan yang diberikan:
(i) y + 10x = 3x  => y = -7x
(ii) x + 3y = 5x - y => 4y = 4x => y = x
(iii) 2x + 7 <= 4y => 2x - 4y <= -7
(iv) 2y >= 5 + x => -x + 2y >= 5

Karena daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong x+y=4 dan ax-y=0, kita perlu mencari titik potong lainnya.

Jika y = x (dari ketentuan ii), substitusikan ke kendala:
x + x >= 4 => 2x >= 4 => x >= 2. (Maka y >= 2)
ax - x <= 0 => x(a - 1) <= 0.
Jika x > 0, maka a - 1 <= 0 => a <= 1.
-x + 5x <= 20 => 4x <= 20 => x <= 5. (Maka y <= 5)

Jika y = x, maka titik potong x+y=4 adalah x+x=4 => 2x=4 => x=2. Maka y=2. Titik (2,2).
Jika titik siku-siku adalah (2,2), maka a(2) - 2 = 0 => 2a = 2 => a = 1.
Jika a = 1, maka kendala ax - y <= 0 menjadi x - y <= 0 => x <= y.
Jika a = 1, titik siku-siku adalah (4/(1+1), 4(1)/(1+1)) = (4/2, 4/2) = (2,2).

Mari kita cek kendala dengan a=1:
1. x + y >= 4
2. x - y <= 0 => x <= y
3. -x + 5y <= 20
4. y >= 0

Titik sudut:
1. Titik potong x+y=4 dan x-y=0 (y=x) => x+x=4 => 2x=4 => x=2, y=2. Titik (2,2).
2. Titik potong x+y=4 dan -x+5y=20.
   Tambahkan kedua persamaan: (x+y) + (-x+5y) = 4 + 20 => 6y = 24 => y = 4.
   Substitusikan y=4 ke x+y=4 => x+4=4 => x=0. Titik (0,4).
3. Titik potong x-y=0 (y=x) dan -x+5y=20.
   Substitusikan y=x ke -x+5y=20 => -x+5x=20 => 4x=20 => x=5. Maka y=5. Titik (5,5).

Daerah penyelesaian dibatasi oleh x+y>=4, x<=y, -x+5y<=20, y>=0.
Titik sudut adalah (2,2), (0,4), (5,5).
Ini membentuk segitiga siku-siku. Sudut siku-siku di (2,2) karena gradien x+y=4 adalah -1 dan gradien x-y=0 adalah 1. Hasil kali gradien (-1)*(1) = -1.

Sekarang evaluasi f(x,y) = 3x + 2y di titik sudut:
Di (2,2): f(2,2) = 3(2) + 2(2) = 6 + 4 = 10.
Di (0,4): f(0,4) = 3(0) + 2(4) = 0 + 8 = 8.
Di (5,5): f(5,5) = 3(5) + 2(5) = 15 + 10 = 25.

Nilai maksimum adalah 25 di titik (5,5).

Sekarang kita cek ketentuan mana yang dipenuhi oleh titik (5,5):
(i) y + 10x = 3x => 5 + 10(5) = 3(5) => 5 + 50 = 15 => 55 = 15 (Salah)
(ii) x + 3y = 5x - y => 5 + 3(5) = 5(5) - 5 => 5 + 15 = 25 - 5 => 20 = 20 (Benar)
(iii) 2x + 7 <= 4y => 2(5) + 7 <= 4(5) => 10 + 7 <= 20 => 17 <= 20 (Benar)
(iv) 2y >= 5 + x => 2(5) >= 5 + 5 => 10 >= 10 (Benar)

Karena soal meminta ketentuan yang SESUAI DENGAN PENYELESAIAN (titik dimana f mencapai nilai maksimum), maka ketentuan (ii), (iii), dan (iv) adalah yang sesuai.
Namun, soal ini meminta untuk memilih dari opsi yang ada, dan opsi tersebut adalah (i), (ii), (iii), (iv).
Jika soal meminta untuk memilih KETENTUAN YANG SESUAI, maka kita perlu melihat opsi pilihan ganda yang tidak disediakan dalam input.

Asumsi: Soal ini meminta kita untuk mengidentifikasi pernyataan mana dari (i), (ii), (iii), (iv) yang benar JIKA titik (5,5) adalah titik maksimum.

Kita sudah menemukan bahwa:
(i) Salah
(ii) Benar
(iii) Benar
(iv) Benar

Jadi, ketentuan (ii), (iii), dan (iv) sesuai dengan penyelesaian pada program linear tersebut.

Jika soal meminta untuk memilih SATU jawaban yang benar dari kombinasi ketentuan tersebut (misalnya, a. (i) saja, b. (ii) saja, c. (ii) dan (iii), d. (ii), (iii), dan (iv)), maka jawabannya adalah kombinasi (ii), (iii), dan (iv).

Jika soal mengasumsikan bahwa kita perlu mencari nilai 'a' terlebih dahulu dan kemudian menguji ketentuan:
Kita tahu titik siku-siku adalah (2,2) jika a=1. Dan titik maksimum adalah (5,5).

Jika titik maksimum adalah (5,5), dan itu adalah titik potong dari kendala -x+5y=20 dan ax-y=0. Maka:
5a - 5 = 0 => 5a = 5 => a = 1.

Jadi, dengan a=1, titik maksimum memang (5,5).

Sekarang kita periksa kembali ketentuan:
(i) y + 10x = 3x  => 5 + 10(5) = 3(5) => 55 = 15 (Salah)
(ii) x + 3y = 5x - y => 5 + 3(5) = 5(5) - 5 => 20 = 20 (Benar)
(iii) 2x + 7 <= 4y => 2(5) + 7 <= 4(5) => 17 <= 20 (Benar)
(iv) 2y >= 5 + x => 2(5) >= 5 + 5 => 10 >= 10 (Benar)

Jadi, ketentuan yang sesuai adalah (ii), (iii), dan (iv). Karena input hanya memberikan pernyataan (i) sampai (iv) dan tidak ada opsi gabungan, saya akan menganggap bahwa soal meminta untuk mengidentifikasi mana dari pernyataan tersebut yang benar.

Jika soal meminta untuk memilih "Ketentuan yang sesuai dengan penyelesaian pada program linear tersebut adalah ....", dan mengasumsikan pilihan ganda seperti:
a. (i) saja
b. (ii) saja
c. (ii) dan (iii)
d. (ii), (iii), dan (iv)
Maka jawaban yang benar adalah d.

Tanpa opsi pilihan ganda, saya akan menyatakan bahwa ketentuan (ii), (iii), dan (iv) adalah yang sesuai.