Diberikan T1=(3 2) dan T2=(-4 5). Bayangan/peta dari K(a,

K(-1/12, 7/5)

Pembahasan

Ini adalah masalah komposisi transformasi. Kita diberikan dua transformasi T1 dan T2, dan bayangan dari titik K oleh komposisi transformasi (T2 o T1). Kita perlu mencari koordinat titik K.

T1 adalah transformasi yang memetakan $(a, b)$ ke $(3a+2b, 2a+b)$ jika kita menganggap matriks transformasinya adalah $T1 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Namun, berdasarkan format soal yang lebih umum, T1=(3 2) dan T2=(-4 5) kemungkinan merujuk pada vektor translasi atau komponen transformasi linear tertentu.

Mari kita asumsikan T1 dan T2 adalah transformasi linear yang direpresentasikan oleh matriks.
Jika T1 adalah matriks $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (dari bentuk (3a+2b, 2a+b)) dan T2 adalah matriks $\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ ? & ? \end{pmatrix}$. Namun, format T1=(3 2) dan T2=(-4 5) lebih mungkin menunjukkan vektor. Jika ini adalah vektor translasi:

Misalkan K = (a, b).
Jika T1 adalah translasi oleh vektor (3, 2), maka T1(K) = (a+3, b+2).
Jika T2 adalah translasi oleh vektor (-4, 5), maka T2(K) = (a-4, b+5).

Komposisi (T2 o T1)(K) berarti menerapkan T1 terlebih dahulu, lalu T2 pada hasilnya:
(T2 o T1)(K) = T2(T1(K))
= T2(a+3, b+2)
= ((a+3) - 4, (b+2) + 5)
= (a - 1, b + 7)

Kita diberitahu bahwa bayangan K'(1, 14). Jadi:
(a - 1, b + 7) = (1, 14)

Dari sini, kita dapatkan dua persamaan:
a - 1 = 1  => a = 2
b + 7 = 14 => b = 7

Jadi, koordinat titik K adalah (2, 7).

Jika T1 dan T2 adalah matriks transformasi linear:
Misalkan T1 = $\begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan T2 = $\begin{pmatrix} -4 & w \\ u & v \end{pmatrix}$. Namun, informasi yang diberikan (3 2) dan (-4 5) tidak cukup untuk membentuk matriks 2x2 secara unik tanpa asumsi tambahan.

Asumsi yang paling masuk akal adalah bahwa T1 dan T2 adalah matriks transformasi linear sederhana, atau operasi pada komponen.

Mari kita pertimbangkan T1 dan T2 sebagai transformasi linear yang bekerja pada vektor kolom $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.
Jika T1 = $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ dan T2 = $\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ (skalasi pada sumbu x dan y):
T1(K) = $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 2b \end{pmatrix}$.
(T2 o T1)(K) = T2(T1(K)) = $\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3a \\ 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12a \\ 10b \end{pmatrix}$.
Jika $\begin{pmatrix} -12a \\ 10b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 14 \end{pmatrix}$, maka -12a = 1 (a = -1/12) dan 10b = 14 (b = 1.4). K = (-1/12, 1.4).

Format soal yang paling umum untuk T1=(3 2) dan T2=(-4 5) dalam konteks transformasi geometri adalah bahwa mereka adalah matriks 2x1 (vektor kolom) yang bertindak pada titik, atau lebih mungkin, mereka adalah matriks transformasi 2x2.

Jika kita menginterpretasikan T1 dan T2 sebagai matriks:
T1 = $\begin{pmatrix} 3 & ? \\ ? & ? \end{pmatrix}$ dan T2 = $\begin{pmatrix} -4 & ? \\ ? & ? \end{pmatrix}$.

Kemungkinan lain, T1=(3 2) adalah representasi dari matriks $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ ? & ? \end{pmatrix}$ atau $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. T2=(-4 5) adalah representasi dari matriks $\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ ? & ? \end{pmatrix}$ atau $\begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Jika T1 dan T2 adalah matriks transformasi linear 2x2 yang didefinisikan sebagian oleh angka-angka tersebut, misalnya:
T1 = $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan T2 = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.
(T2 o T1)(K) = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 5b \end{pmatrix}$.
Jika $\begin{pmatrix} 3a \\ 5b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 14 \end{pmatrix}$, maka 3a=1 (a=1/3) dan 5b=14 (b=14/5). K=(1/3, 14/5).

Jika T1 = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ dan T2 = $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.
(T2 o T1)(K) = $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 10b \end{pmatrix}$.
Jika $\begin{pmatrix} 3a \\ 10b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 14 \end{pmatrix}$, maka 3a=1 (a=1/3) dan 10b=14 (b=1.4). K=(1/3, 1.4).

Interpretasi yang paling umum dari "T1=(3 2)" dalam konteks transformasi adalah bahwa T1 adalah matriks $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ atau $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ atau $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

Mari kita gunakan interpretasi yang paling sering ditemui dalam buku teks: T1 dan T2 adalah matriks transformasi 2x2.
Namun, format "T1=(3 2)" dan "T2=(-4 5)" tidak cukup untuk mendefinisikan matriks 2x2. Ini bisa berarti:
1. Vektor translasi: T1=(3,2), T2=(-4,5). Ini sudah dihitung di atas, menghasilkan K=(2,7).
2. Matriks diagonal: T1 dilambangkan dengan elemen diagonal (3,2), T2 dengan (-4,5).
   T1 = $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, T2 = $\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.
   (T2 o T1)(K) = T2(T1(K)) = T2($\begin{pmatrix} 3a \\ 2b \end{pmatrix}$) = $\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3a \\ 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12a \\ 10b \end{pmatrix}$.
   Jika $\begin{pmatrix} -12a \\ 10b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 14 \end{pmatrix}$, maka -12a = 1 => a = -1/12, dan 10b = 14 => b = 14/10 = 7/5. Jadi K=(-1/12, 7/5).
3. Matriks dengan elemen baris pertama: T1 = $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ ? & ? \end{pmatrix}$, T2 = $\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ ? & ? \end{pmatrix}$.

Jika kita mengasumsikan bahwa T1 dan T2 adalah representasi dari transformasi linear yang bekerja pada titik (a, b) dan T1=(3 2) berarti $T_1(a,b) = (3a, 2b)$ dan T2=(-4 5) berarti $T_2(x,y) = (-4x, 5y)$. Maka:
$T_1(a,b) = (3a, 2b)$
$(T_2 	ext{ o } T_1)(a,b) = T_2(T_1(a,b)) = T_2(3a, 2b) = (-4(3a), 5(2b)) = (-12a, 10b)$

Diketahui bayangan K'(1, 14), maka:
$(-12a, 10b) = (1, 14)$
$-12a = 1 
ightarrow a = -rac{1}{12}$
$10b = 14 
ightarrow b = rac{14}{10} = rac{7}{5}$

Maka koordinat titik K adalah $(-rac{1}{12}, rac{7}{5})$.

Mari kita uji interpretasi translasi lagi karena itu seringkali lebih sederhana.
Jika T1 adalah translasi oleh (3,2) dan T2 oleh (-4,5):
$T_1(a,b) = (a+3, b+2)$
$(T_2 	ext{ o } T_1)(a,b) = T_2(a+3, b+2) = ((a+3)-4, (b+2)+5) = (a-1, b+7)$
Jika $(a-1, b+7) = (1, 14)$,
maka $a-1=1 
ightarrow a=2$
$b+7=14 
ightarrow b=7$
K = (2, 7).

Tanpa konteks lebih lanjut mengenai bagaimana T1 dan T2 didefinisikan, kedua interpretasi (translasi atau transformasi matriks diagonal) mungkin.
Namun, jika soal ini berasal dari bab tentang matriks transformasi, interpretasi matriks lebih mungkin.
Jika T1 dan T2 mewakili matriks yang hanya memiliki satu baris yang diberikan, misalnya:
T1 = $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dan T2 = $\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
(T2 o T1)(K) = $\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & -8 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12a - 8b \\ 0 \end{pmatrix}$.
Ini tidak sesuai dengan K'(1, 14).

Jika T1 dan T2 mewakili matriks yang hanya memiliki satu kolom yang diberikan, misalnya:
T1 = $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan T2 = $\begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Ini bukan matriks transformasi 2x2.

Interpretasi yang paling konsisten dengan notasi matematika standar untuk komposisi transformasi linear adalah bahwa T1 dan T2 adalah matriks 2x2, dan angka yang diberikan adalah elemen-elemennya.
Kemungkinan besar, ini adalah operasi pada sumbu yang terpisah.
Mari kita kembali ke interpretasi bahwa T1=(3 2) berarti transformasi yang mengalikan koordinat x dengan 3 dan koordinat y dengan 2, dan T2=(-4 5) berarti transformasi yang mengalikan koordinat x dengan -4 dan koordinat y dengan 5.
Ini setara dengan matriks diagonal.
$T_1(a, b) = (3a, 2b)$
$T_2(x, y) = (-4x, 5y)$
$(T_2 	ext{ o } T_1)(a, b) = T_2(3a, 2b) = (-4(3a), 5(2b)) = (-12a, 10b)$

Karena $(T_2 	ext{ o } T_1)(K) = K'(1, 14)$:
$(-12a, 10b) = (1, 14)$
$-12a = 1 
ightarrow a = -rac{1}{12}$
$10b = 14 
ightarrow b = rac{14}{10} = rac{7}{5}$

Jadi, koordinat titik K adalah $(-rac{1}{12}, rac{7}{5})$.