lim x -> 0 cos 3 x-cos 5 x/sin 3 x+sin 5 x=...Petunjuk:Ubah

Jawaban: 0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x -> 0 (cos 3x - cos 5x) / (sin 3x + sin 5x), kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang diberikan:
cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Dalam kasus ini, A = 3x dan B = 5x.

Menerapkan identitas pada pembilang:
cos 3x - cos 5x = -2 sin((3x+5x)/2) sin((3x-5x)/2)
= -2 sin(8x/2) sin(-2x/2)
= -2 sin(4x) sin(-x)
Karena sin(-x) = -sin(x), maka:
= -2 sin(4x) (-sin(x))
= 2 sin(4x) sin(x)

Menerapkan identitas pada penyebut:
sin 3x + sin 5x = 2 sin((3x+5x)/2) cos((3x-5x)/2)
= 2 sin(8x/2) cos(-2x/2)
= 2 sin(4x) cos(-x)
Karena cos(-x) = cos(x), maka:
= 2 sin(4x) cos(x)

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x -> 0 (2 sin(4x) sin(x)) / (2 sin(4x) cos(x))

Kita bisa membatalkan 2 sin(4x) dari pembilang dan penyebut (selama sin(4x) \(\neq\) 0, yang berlaku saat x mendekati 0 tetapi tidak sama dengan 0):
lim x -> 0 sin(x) / cos(x)

Ini sama dengan:
lim x -> 0 tan(x)

Ketika x mendekati 0, tan(x) mendekati tan(0), yang nilainya adalah 0.

Jadi, lim x -> 0 cos 3x - cos 5x / sin 3x + sin 5x = 0.