Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika

11, 12, 13

Pembahasan

Misalkan tiga bilangan bulat positif berurutan tersebut adalah n, n+1, dan n+2.

Menurut soal:
Bilangan pertama tetap: n
Bilangan kedua ditambah 10: (n+1) + 10 = n+11
Bilangan ketiga ditambah sebuah bilangan prima: (n+2) + p, di mana p adalah bilangan prima.

Ketiga bilangan ini membentuk deret ukur (geometri). Ini berarti perbandingan antara suku kedua dan pertama sama dengan perbandingan antara suku ketiga dan kedua.

$\\frac{n+11}{n} = \\frac{(n+2)+p}{n+11}$

$(n+11)^2 = n((n+2)+p)$
$n^2 + 22n + 121 = n(n+2+p)$
$n^2 + 22n + 121 = n^2 + 2n + np$
$22n + 121 = 2n + np$
$20n + 121 = np$
$p = \\frac{20n + 121}{n}$
$p = 20 + \\frac{121}{n}$

Karena p adalah bilangan prima, maka n haruslah faktor dari 121. Faktor dari 121 adalah 1, 11, dan 121.

Kita uji setiap faktor:
1. Jika n = 1:
   p = 20 + 121/1 = 20 + 121 = 141.
   141 bukan bilangan prima (141 = 3 x 47).

2. Jika n = 11:
   p = 20 + 121/11 = 20 + 11 = 31.
   31 adalah bilangan prima.
   Dalam kasus ini, tiga bilangan berurutan adalah n=11, n+1=12, n+2=13.
   Bilangan-bilangan setelah modifikasi menjadi: 11, 12+11=23, 13+31=44.
   Mari kita periksa apakah 11, 23, 44 membentuk deret ukur:
   Rasio = 23/11 (bukan bilangan bulat).
   Rasio = 44/23 (bukan bilangan bulat).
   Ini tidak membentuk deret ukur.

Ada kemungkinan kesalahan dalam interpretasi soal atau cara penyusunan persamaan.

Mari kita baca ulang soalnya: "ketiga bilangan ini membentuk deret ukur (geometri)".
Ini berarti suku pertama adalah n, suku kedua adalah n+11, suku ketiga adalah n+2+p.

Perbandingan suku: $\\frac{n+11}{n} = \\frac{n+2+p}{n+11}$
$(n+11)^2 = n(n+2+p)$
$n^2 + 22n + 121 = n^2 + 2n + np$
$20n + 121 = np$
$p = 20 + \\frac{121}{n}$

Kita sudah mendapatkan $p = 20 + \\frac{121}{n}$. n adalah bilangan bulat positif. p adalah bilangan prima.
n harus menjadi faktor dari 121, yaitu 1, 11, 121.

Kasus n=1:
$p = 20 + 121/1 = 141$. Bukan prima.

Kasus n=11:
$p = 20 + 121/11 = 20 + 11 = 31$. Prima.
Bilangan awal: 11, 12, 13.
Bilangan setelah modifikasi: 11, 12+11=23, 13+31=44.
Deret ukurnya adalah 11, 23, 44. Rasio = 23/11, 44/23. Tidak sama.

Kasus n=121:
$p = 20 + 121/121 = 20 + 1 = 21$. Bukan prima.

Sepertinya ada kesalahan dalam asumsi atau soalnya.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika tiga bilangan berurutan adalah a, b, c, dan membentuk deret ukur, maka $b^2 = ac$.

Suku-suku deret ukur adalah: $a = n$, $b = n+11$, $c = n+2+p$.

Maka $(n+11)^2 = n(n+2+p)$. Ini adalah persamaan yang sama.

Mungkin urutan bilangan setelah modifikasi tidak seperti itu. Namun, "ketiga bilangan ini membentuk deret ukur" menyiratkan urutan tersebut.

Mari kita periksa lagi faktor 121. Faktornya adalah 1, 11, 121.
Untuk n=11, p=31. Bilangan tersebut adalah 11, 23, 44. Rasio: 23/11, 44/23. Tidak sama.

Ada kemungkinan interpretasi lain dari soal.
"Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan." => n, n+1, n+2.
"Jika bilangan pertama tetap" => n
"bilangan kedua ditambah 10" => n+1+10 = n+11
"bilangan ketiga ditambah sebuah bilangan prima" => n+2+p

"maka ketiga bilangan ini membentuk deret ukur (geometri)" => n, n+11, n+2+p adalah barisan geometri.

Barisan geometri memiliki rasio konstan: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$
$\frac{n+11}{n} = \frac{n+2+p}{n+11}$
$(n+11)^2 = n(n+2+p)$
$n^2 + 22n + 121 = n^2 + 2n + np$
$20n + 121 = np$
$p = \frac{20n + 121}{n} = 20 + \frac{121}{n}$

Sekali lagi, n haruslah faktor dari 121: 1, 11, 121.
n=1 => p=141 (bukan prima)
n=11 => p=31 (prima). Bilangan awalnya 11, 12, 13. Bilangan barisan geometri: 11, 23, 44. Rasio tidak sama.
n=121 => p=21 (bukan prima).

Sepertinya soal ini memiliki inkonsistensi atau membutuhkan asumsi tambahan.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa deret ukurnya bukan dari bilangan yang dimodifikasi secara langsung.

Jika ada kesalahan dalam soal, dan misalnya bilangan ketiga adalah n+2+p, dan bilangan kedua adalah n+1. Dan rasio adalah r.
n*r = n+1
n*r^2 = n+2+p

Ini semakin rumit.

Mari kita kembali ke $p = 20 + \frac{121}{n}$.
Jika kita mengasumsikan bahwa ada solusi, maka n=11 harus menjadi kunci.
Jika n=11, p=31. Bilangan awalnya 11, 12, 13.
Barisan geometri: 11, 11+11=23, 13+31=44. Rasio: 23/11 dan 44/23.

Mungkin deret ukurannya adalah a, ar, ar^2.
$a = n$
$ar = n+11$
$ar^2 = n+2+p$

Dari dua persamaan pertama, $r = \frac{n+11}{n}$.
Substitusikan ke persamaan ketiga:
$n (\frac{n+11}{n})^2 = n+2+p$
$n \frac{(n+11)^2}{n^2} = n+2+p$
$rac{(n+11)^2}{n} = n+2+p$
$rac{n^2 + 22n + 121}{n} = n+2+p$
$n + 22 + \frac{121}{n} = n+2+p$
$22 + \frac{121}{n} = 2+p$
$p = 20 + \frac{121}{n}$

Kita kembali ke persamaan yang sama. Ini mengkonfirmasi bahwa n=11 adalah satu-satunya kemungkinan di mana p adalah prima.

Jika n=11, maka bilangan berurutan adalah 11, 12, 13.
Bilangan setelah modifikasi: 11, 12+11=23, 13+31=44.

Mari kita coba cek apakah ada kesalahan ketik pada soal. Jika bilangan kedua adalah n+10 dan bilangan ketiga adalah n+2+p, dan deret ukurnya a, b, c.
Jika a=11, b=12, c=13. Deret ukur?
Jika a=11, b=11+10=21, c=13+p. Rasio $21/11$ dan $(13+p)/21$. $21^2 = 11(13+p) => 441 = 143 + 11p => 11p = 298 => p = 298/11$ (bukan prima).

Jika bilangan awal adalah 1, 2, 3. n=1. p=141 (bukan prima).

Mungkin soalnya mengacu pada "tiga bilangan bulat positif berurutan" yang hasil modifikasinya membentuk deret ukur, BUKAN bilangan awal tersebut.

Jika n=11, p=31. Bilangan awal 11, 12, 13.
Bilangan modifikasi: 11, 23, 44.
Deret ukurnya adalah 11, 23, 44.
Apakah ini barisan geometri? $23/11 
e 44/23$. Jadi, tidak.

Sepertinya ada kesalahan dalam soal ini.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan n=11 karena menghasilkan p=31 (prima), maka kita akan menyatakan bahwa bilangan awal adalah 11, 12, 13.

Jika soal bermaksud agar bilangan $n, n+11, n+2+p$ membentuk barisan aritmatika, maka:
$(n+11) - n = (n+2+p) - (n+11)$
$11 = n+2+p - n - 11$
$11 = p - 9$
$p = 20$.
20 bukan bilangan prima.

Asumsi terbaik yang bisa dibuat adalah bahwa n=11 adalah solusi yang dimaksud karena menghasilkan p=31.
Bilangan berurutan: 11, 12, 13.

Mari kita periksa jika soalnya adalah "jika bilangan kedua tetap, bilangan pertama ditambah 10, bilangan ketiga ditambah p".
$10+n, n+1, n+2+p$. Deret geometri.
$(n+1)^2 = (10+n)(n+2+p)$.
Jika n=11, 12, 13. $(11+1)^2 = 12^2 = 144$. $(10+11)(13+p) = 21(13+p)$.
$144 = 21(13+p) 
 144/21 = 13+p 
 48/7 = 13+p 
 p = 48/7 - 13$ (bukan bilangan).

Kemungkinan besar soalnya merujuk pada n=11 yang menghasilkan p=31, dan ada kesalahan dalam pembentukan deret ukurnya.

Jika kita tetap pada $p = 20 + \frac{121}{n}$, dan n=11 menghasilkan p=31 (prima), maka bilangan berurutan tersebut adalah 11, 12, 13.