Diberikan vektor a=vektor i+ vektor j+4 vektor k, vektor

7

Pembahasan

Diberikan vektor a = $\vec{i} + \vec{j} + 4\vec{k}$, vektor b = $2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$, dan vektor c = $5\vec{i} + 11\vec{j} + 4\vec{k}$.
Kita diberitahu bahwa vektor c = m vektor a + n vektor b.
Ini berarti:
$5\vec{i} + 11\vec{j} + 4\vec{k} = m(\vec{i} + \vec{j} + 4\vec{k}) + n(2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k})$
$5\vec{i} + 11\vec{j} + 4\vec{k} = (m\vec{i} + m\vec{j} + 4m\vec{k}) + (2n\vec{i} - n\vec{j} - 2n\vec{k})$
$5\vec{i} + 11\vec{j} + 4\vec{k} = (m + 2n)\vec{i} + (m - n)\vec{j} + (4m - 2n)\vec{k}$

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian, kita mendapatkan sistem persamaan linear:
1) $m + 2n = 5$
2) $m - n = 11$
3) $4m - 2n = 4$

Kita dapat menggunakan dua persamaan pertama untuk mencari nilai m dan n. Dari persamaan (2), kita bisa mendapatkan $m = 11 + n$.
Substitusikan ini ke persamaan (1):
$(11 + n) + 2n = 5$
$11 + 3n = 5$
$3n = 5 - 11$
$3n = -6$
$n = -2$

Sekarang, substitusikan nilai n = -2 kembali ke $m = 11 + n$:
$m = 11 + (-2)$
$m = 9$

Sekarang kita periksa apakah nilai m=9 dan n=-2 memenuhi persamaan (3):
$4m - 2n = 4(9) - 2(-2) = 36 + 4 = 40$
Namun, persamaan (3) menyatakan $4m - 2n = 4$. Ada inkonsistensi di sini, yang berarti vektor c tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear m dan n dari vektor a dan b.

Namun, soal juga menyatakan bahwa vektor c koplanar dengan vektor a dan vektor b. Jika tiga vektor koplanar, maka hasil kali skalar tripel (scalar triple product) dari ketiga vektor tersebut adalah nol. Namun, dalam konteks soal ini, jika c = ma + nb, maka secara otomatis c koplanar dengan a dan b (selama a dan b tidak sejajar).

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik dalam soal dan coba selesaikan berdasarkan informasi c = ma + nb saja dan memeriksa konsistensi.

Jika kita menggunakan persamaan (1) dan (3):
1) $m + 2n = 5$
3) $4m - 2n = 4$
Tambahkan kedua persamaan:
$(m + 2n) + (4m - 2n) = 5 + 4$
$5m = 9$
$m = 9/5$

Substitusikan $m = 9/5$ ke persamaan (1):
$9/5 + 2n = 5$
$2n = 5 - 9/5$
$2n = 25/5 - 9/5$
$2n = 16/5$
$n = 8/5$

Mari kita cek dengan persamaan (2): $m - n = 11$
$9/5 - 8/5 = 1/5$. Ini tidak sama dengan 11.

Ada kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan vektor atau koefisien dalam soal, karena sistem persamaan yang dihasilkan dari c = ma + nb tidak konsisten.

Namun, jika kita mengabaikan persamaan ketiga dan hanya menggunakan dua persamaan pertama untuk menemukan m dan n, kita mendapatkan m = 9 dan n = -2. Dalam kasus ini, m+n = 9 + (-2) = 7.

Jika kita mengabaikan persamaan kedua dan menggunakan persamaan pertama dan ketiga, kita mendapatkan m = 9/5 dan n = 8/5. Dalam kasus ini, m+n = 9/5 + 8/5 = 17/5.

Mengingat soal tersebut secara eksplisit menyatakan 'Jika vektor c=m vektor a+n vektor b', biasanya ini menyiratkan bahwa ada solusi unik untuk m dan n. Inkonsistensi menunjukkan masalah dalam soal.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan salah satu pasangan persamaan, pasangan (1) dan (2) seringkali menjadi pilihan utama karena urutannya.
Dengan m=9 dan n=-2, maka m+n = 7.

Kita bisa juga memeriksa apakah vektor a dan b sejajar. Vektor a = (1, 1, 4) dan vektor b = (2, -1, -2). Rasio komponennya tidak sama (1/2, 1/-1, 4/-2), jadi mereka tidak sejajar.

Asumsi bahwa soal ini memiliki solusi yang konsisten, dan bahwa kita harus menggunakan dua persamaan untuk menemukan m dan n, kita akan menggunakan persamaan (1) dan (2).
$m+2n=5$
$m-n=11$
Dari $m-n=11$, maka $m=11+n$. Substitusi ke persamaan pertama:
$(11+n)+2n=5$
$11+3n=5$
$3n = -6$
$n = -2$
$m = 11 + (-2) = 9$.

Nilai dari m+n = 9 + (-2) = 7.