Diketahui titik A(-1, 0), B(1, 2), dan C(3, 0). Jika titik

Koordinat titik D yang mungkin adalah (1, -5).

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik D agar ABCD membentuk layang-layang, kita perlu memahami sifat-sifat layang-layang. Layang-layang memiliki dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang, dan salah satu diagonalnya membagi layang-layang menjadi dua segitiga sama kaki yang kongruen. Sumbu simetri layang-layang adalah diagonal yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang berhadapan.

Titik-titik yang diketahui adalah A(-1, 0), B(1, 2), dan C(3, 0).

Sifat layang-layang yang paling relevan di sini adalah bahwa salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri, atau kedua diagonalnya saling tegak lurus dan salah satunya membagi yang lain menjadi dua sama panjang.

Mari kita analisis posisi titik A, B, dan C:
A(-1, 0) dan C(3, 0) berada pada sumbu x (y=0). Jarak AC adalah 3 - (-1) = 4.

Untuk membentuk layang-layang ABCD, ada dua kemungkinan utama:

Kasus 1: Diagonal AC adalah sumbu simetri.
Ini berarti titik B dan D harus simetris terhadap garis AC (sumbu x). Jika B(1, 2), maka bayangannya D harus berada di bawah sumbu x dengan koordinat y yang berlawanan. Jadi, D(1, -2).
Mari kita cek apakah ini membentuk layang-layang. Jarak AB = sqrt((1 - (-1))^2 + (2 - 0)^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8).
Jarak BC = sqrt((3 - 1)^2 + (0 - 2)^2) = sqrt(2^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8).
Jarak AD = sqrt((1 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2) = sqrt(2^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8).
Jarak CD = sqrt((3 - 1)^2 + (0 - (-2))^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8).
Dalam kasus ini, keempat sisinya sama panjang, yang berarti ABCD adalah belah ketupat, yang merupakan jenis khusus dari layang-layang. Namun, koordinat D(1, -2) tidak ada dalam pilihan jawaban.

Kasus 2: Diagonal BD tegak lurus dengan AC dan membagi AC menjadi dua sama panjang (ini terjadi jika AB=BC atau AD=CD).

Atau, titik D sedemikian rupa sehingga AB=AD dan CB=CD (atau AB=CB dan AD=CD).

Mari kita periksa pilihan jawaban:
A. (2, -1)
B. (2, -5)
C. (1, 0)
D. (1, -5)

Jika D = (2, -1):
AB = sqrt(8)
BC = sqrt(8)
AD = sqrt((2 - (-1))^2 + (-1 - 0)^2) = sqrt(3^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10)
CD = sqrt((3 - 2)^2 + (0 - (-1))^2) = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)
Ini bukan layang-layang.

Jika D = (2, -5):
AB = sqrt(8)
BC = sqrt(8)
AD = sqrt((2 - (-1))^2 + (-5 - 0)^2) = sqrt(3^2 + (-5)^2) = sqrt(9 + 25) = sqrt(34)
CD = sqrt((3 - 2)^2 + (0 - (-5))^2) = sqrt(1^2 + 5^2) = sqrt(1 + 25) = sqrt(26)
Ini bukan layang-layang.

Jika D = (1, 0):
Titik D sama dengan titik (1,0) yang merupakan titik tengah dari AC. Ini akan membuat segitiga ABC dan ADC menjadi sama persis, dan ABCD akan menjadi bangun datar, bukan layang-layang.

Jika D = (1, -5):
AB = sqrt(8)
BC = sqrt(8)
AD = sqrt((1 - (-1))^2 + (-5 - 0)^2) = sqrt(2^2 + (-5)^2) = sqrt(4 + 25) = sqrt(29)
CD = sqrt((3 - 1)^2 + (0 - (-5))^2) = sqrt(2^2 + 5^2) = sqrt(4 + 25) = sqrt(29)

Perhatikan bahwa pada pilihan D (1, -5):
AB = sqrt(8)
BC = sqrt(8)
AD = sqrt(29)
CD = sqrt(29)

Dalam kasus ini, AB = BC dan AD = CD. Ini adalah sifat layang-layang (dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang).

Jadi, koordinat titik D yang mungkin adalah (1, -5).