Diberikan x+1/x=1, tentukan: x^(21)+1/x^(21)

Nilai $x^{21} + \frac{1}{x^{21}}$ adalah -2.

Pembahasan

Diberikan persamaan $x + \frac{1}{x} = 1$. Kita ingin mencari nilai dari $x^{21} + \frac{1}{x^{21}}$.

Langkah pertama adalah mengalikan kedua sisi persamaan dengan x untuk menghilangkan penyebut:
$x(x + \frac{1}{x}) = 1 	imes x$
$x^2 + 1 = x$
$x^2 - x + 1 = 0$

Kita dapat mengenali bahwa persamaan ini terkait dengan akar-akar dari $x^3 + 1 = 0$. Perhatikan bahwa:
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1$

Karena $x^2 - x + 1 = 0$, maka:
$(x+1)(0) = x^3 + 1$
$0 = x^3 + 1$
$x^3 = -1$

Sekarang kita dapat menggunakan fakta bahwa $x^3 = -1$ untuk menyederhanakan $x^{21} + \frac{1}{x^{21}}$:
$x^{21} = (x^3)^7 = (-1)^7 = -1$

$rac{1}{x^{21}} = rac{1}{(-1)^7} = rac{1}{-1} = -1$

Jadi,
$x^{21} + \frac{1}{x^{21}} = -1 + (-1) = -2$

Oleh karena itu, nilai dari $x^{21} + \frac{1}{x^{21}}$ adalah -2.