Diberikan X dan Y keduanya variabel acak diskrit yang

Kedua pernyataan terbukti benar dengan menggunakan definisi varians, ekspektasi, kovarians, dan sifat linearitas ekspektasi.

Pembahasan

Mari kita buktikan kedua pernyataan tersebut untuk variabel acak diskrit X dan Y yang bersifat bebas.

**a. Bukti σ²X+Y = E[(X-μX)]² + 2 E[(X-μX)(Y-μY)] + E[(Y-μY)]²**

Varians dari jumlah dua variabel acak X dan Y didefinisikan sebagai:
σ²(X+Y) = E[((X+Y) - μ(X+Y))²]
Karena X dan Y bebas, ekspektasi dari jumlahnya adalah jumlah ekspektasinya:
μ(X+Y) = E[X+Y] = E[X] + E[Y] = μX + μY

Maka, substitusikan μ(X+Y) ke dalam rumus varians:
σ²(X+Y) = E[((X+Y) - (μX + μY))²]
σ²(X+Y) = E[((X - μX) + (Y - μY))²]

Sekarang, ekspansi kuadrat binomial di dalam ekspektasi:
σ²(X+Y) = E[(X - μX)² + 2(X - μX)(Y - μY) + (Y - μY)²]

Dengan menggunakan sifat linearitas ekspektasi:
σ²(X+Y) = E[(X - μX)²] + E[2(X - μX)(Y - μY)] + E[(Y - μY)²]
σ²(X+Y) = E[(X - μX)²] + 2 E[(X - μX)(Y - μY)] + E[(Y - μY)²]

Ini adalah bentuk pertama yang diminta.

**b. Bukti jika σXY = cov(X, Y), maka σ²X+Y = σ²X + 2σXY + σ²Y**

Kita tahu definisi dari:
*   σ²X = E[(X - μX)²]
*   σ²Y = E[(Y - μY)²]
*   σXY = cov(X, Y) = E[(X - μX)(Y - μY)]

Substitusikan definisi-definisi ini ke dalam hasil dari bagian (a):
σ²(X+Y) = σ²X + 2σXY + σ²Y

Ini membuktikan pernyataan kedua.

**Kesimpulan:**
Kedua pernyataan tersebut terbukti benar berdasarkan definisi varians, ekspektasi, dan kovarians, serta sifat linearitas ekspektasi untuk variabel acak bebas.