Jika f(x)=(sin x+cos x)/(sin x) dan f'(x) adalah turunan

f'(pi/2) = -1

Pembahasan

Untuk menemukan nilai f'(π/2) dari fungsi f(x) = (sin x + cos x) / (sin x), kita perlu mencari turunan pertama f'(x) terlebih dahulu, kemudian mensubstitusikan x = π/2.

1.  **Sederhanakan Fungsi f(x):**
    Kita bisa memisahkan pecahan tersebut:
f(x) = (sin x / sin x) + (cos x / sin x)
f(x) = 1 + cot x

2.  **Cari Turunan Pertama f'(x):**
    Turunan dari konstanta 1 adalah 0.
    Turunan dari cot x adalah -csc² x.
    Jadi, f'(x) = 0 - csc² x = -csc² x.

    Alternatif lain, menggunakan aturan kuosien:
    Misalkan u = sin x + cos x, maka u' = cos x - sin x
    Misalkan v = sin x, maka v' = cos x
    f'(x) = (u'v - uv') / v²
    f'(x) = ((cos x - sin x)(sin x) - (sin x + cos x)(cos x)) / (sin x)²
    f'(x) = (sin x cos x - sin² x - (sin x cos x + cos² x)) / sin² x
    f'(x) = (sin x cos x - sin² x - sin x cos x - cos² x) / sin² x
    f'(x) = (-sin² x - cos² x) / sin² x
    f'(x) = -(sin² x + cos² x) / sin² x
    Karena sin² x + cos² x = 1:
    f'(x) = -1 / sin² x
    f'(x) = -csc² x
    Kedua metode memberikan hasil yang sama.

3.  **Substitusikan x = π/2 ke dalam f'(x):**
f'(π/2) = -csc² (π/2)
Kita tahu bahwa csc(θ) = 1 / sin(θ).
Jadi, csc(π/2) = 1 / sin(π/2).
Karena sin(π/2) = 1:
csc(π/2) = 1 / 1 = 1.

Maka:
f'(π/2) = -(1)²
f'(π/2) = -1

Jadi, nilai f'(π/2) adalah -1.