Diketahu bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk

Nilai tan α adalah √2.

Pembahasan

Diberikan bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 6 cm. Bidang empat beraturan adalah limas segitiga di mana semua rusuknya sama panjang.

Rusuk alas (AB, BC, CA) = 6 cm.
Rusuk tegak (TA, TB, TC) = 6 cm.

Kita perlu mencari sudut antara TC dengan bidang ABT. Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

Proyeksi titik C pada bidang ABT adalah titik yang jika ditarik garis tegak lurus dari C ke bidang ABT, maka titik tersebut adalah proyeksinya. Dalam bidang empat beraturan, karena semua sisi adalah segitiga sama sisi, maka garis tinggi dari C ke bidang ABT akan jatuh pada titik pusat (centroid) dari segitiga sama sisi ABT. Namun, ini akan rumit untuk dihitung.

Mari kita gunakan definisi sudut antara garis dan bidang: sudut antara garis TC dengan bidang ABT adalah sudut antara TC dengan garis proyeksinya pada bidang ABT. Proyeksi T pada bidang ABT adalah T itu sendiri. Proyeksi C pada bidang ABT adalah titik O, di mana CO tegak lurus terhadap bidang ABT. Namun, ini juga bukan cara yang paling mudah.

Cara yang lebih mudah adalah dengan melihat segitiga yang dibentuk oleh garis TC, proyeksinya pada bidang ABT, dan garis dari C ke titik proyeksinya. 

Dalam bidang empat beraturan T.ABC, semua rusuk adalah 6 cm. Ini berarti segitiga TBC, TAC, TAB, dan ABC adalah segitiga sama sisi.

Kita mencari sudut antara garis TC dan bidang ABT. Garis proyeksi TC pada bidang ABT adalah garis T ke proyeksi C pada bidang ABT. Karena T.ABC adalah bidang empat beraturan, proyeksi titik C pada bidang alas ABT adalah titik pusat (centroid) dari segitiga sama sisi ABT. Sebut saja titik O.

Jadi, sudut yang dicari adalah sudut antara TC dan TO, yaitu sudut ∠CTO.

Perhatikan segitiga TBC. Ini adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm.
Perhatikan segitiga TAB. Ini adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm.

Mari kita tempatkan T pada titik asal (0,0,0).
Karena T.ABC adalah bidang empat beraturan, kita bisa membayangkannya dalam koordinat.
Namun, cara yang lebih geometris adalah dengan menggunakan sifat-sifat segitiga.

Perhatikan segitiga TOC, di mana O adalah proyeksi C pada bidang ABT.
Karena T.ABC adalah bidang empat beraturan, titik O adalah pusat segitiga sama sisi ABT.

Misalkan M adalah titik tengah AB.
Dalam segitiga sama sisi ABT, TM adalah tinggi segitiga TAB.
Tinggi segitiga sama sisi = (sisi * √3) / 2
TM = (6 * √3) / 2 = 3√3 cm.

Jarak dari titik sudut ke pusat (centroid) segitiga sama sisi adalah 2/3 dari tingginya.
Jadi, TO = (2/3) * TM = (2/3) * 3√3 = 2√3 cm.

Sekarang kita punya segitiga TOC, di mana:
TC = 6 cm (rusuk bidang empat beraturan)
TO = 2√3 cm (jarak dari T ke pusat segitiga ABT)

Untuk mencari sudut α = ∠CTO, kita perlu panjang CO.
CO adalah tinggi segitiga TBC jika dilihat dari puncak T ke alas BC, tetapi itu bukan proyeksi.
CO adalah jarak tegak lurus dari C ke bidang ABT.

Dalam bidang empat beraturan, semua muka adalah segitiga sama sisi. Jika kita memotong bidang empat beraturan, kita akan mendapatkan simetri.

Alternatif lain: Proyeksi C pada bidang ABT adalah titik O. Segitiga TBC memiliki panjang sisi 6, 6, 6.
Perhatikan segitiga TBC. Kita ingin mencari sudut antara TC dan bidang ABT. Garis proyeksi TC pada bidang ABT adalah garis TO.

Dalam segitiga sama sisi TBC, jika kita tarik garis dari T ke titik tengah BC (misal N), maka TN adalah tinggi dan TN ⊥ BC.

Kita perlu mencari sudut antara TC dan bidang ABT. Sudut ini adalah sudut antara TC dan proyeksinya pada bidang ABT. Proyeksi T adalah T. Proyeksi C pada bidang ABT adalah titik O, yang merupakan pusat segitiga ABT.
Jadi, sudutnya adalah ∠CTO.

Kita memiliki segitiga TCO siku-siku di O (karena CO ⊥ bidang ABT).
Kita tahu TC = 6.
Kita tahu TO = 2√3.

Dalam segitiga siku-siku TCO:
cos(∠CTO) = TO / TC
cos(α) = (2√3) / 6
cos(α) = √3 / 3

Untuk mencari tan(α), kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau menggambar segitiga siku-siku.
Jika cos(α) = √3 / 3, maka sisi samping = √3 dan sisi miring = 3.
Sisi depan = √(sisi miring² - sisi samping²) = √(3² - (√3)²) = √(9 - 3) = √6.

Maka, tan(α) = sisi depan / sisi samping = √6 / √3 = √2.

Jadi, tan α = √2.