Diketahui A=(2 0 -1 4 2 3), B =(1 0 0 1 -1 2), dan C =(-3 4

Dengan asumsi A adalah matriks 2x3, B adalah matriks 3x2, dan C adalah matriks 3x2, terbukti bahwa A(B + C) = AB + AC.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa A(B + C) = AB + AC, kita perlu melakukan perkalian matriks.

Diketahui:
A = [[2, 0, -1], [4, 2, 3]]
B = [[1, 0, 0], [1, -1, 2]]
C = [[-3, 4, 1], [2, -3, 1]]

Langkah 1: Hitung B + C
B + C = [[1+(-3), 0+4, 0+1], [1+2, -1+(-3), 2+1]]
B + C = [[-2, 4, 1], [3, -4, 3]]

Langkah 2: Hitung A(B + C)
Karena A adalah matriks 2x3 dan (B+C) adalah matriks 2x3, hasil perkalian A(B+C) tidak terdefinisi karena jumlah kolom A (3) tidak sama dengan jumlah baris (B+C) (2).


Perhatian: Ada kemungkinan dimensi matriks yang diberikan salah atau tidak sesuai untuk operasi yang diminta. Matriks A diberikan sebagai (2 0 -1 4 2 3) yang biasanya merepresentasikan matriks 2x3. Namun, untuk operasi A(B+C) agar terdefinisi, jika B dan C adalah matriks 2x3, maka A haruslah matriks mx2 agar perkalian AB dan AC juga terdefinisi. Jika A adalah matriks 2x3, B dan C haruslah matriks 3xn.

Asumsikan ada kesalahan penulisan dimensi matriks dan A adalah matriks 2x3, B adalah matriks 3x2, dan C adalah matriks 3x2 agar A(B+C) dan AB, AC terdefinisi.

Misalkan:
A = [[2, 0, -1],
     [4, 2,  3]]  (2x3)

Agar A(B+C) terdefinisi, B dan C harus memiliki dimensi yang sama dan jumlah kolom sama dengan jumlah baris A (3). Jadi B dan C harus berdimensi 3xN.

Mari kita asumsikan B dan C adalah matriks 3x2:
B = [[1, 0],
     [0, 1],
     [-1, 2]] (3x2)
C = [[-3, 4],
     [1, 2],
     [2, -3]] (3x2)

Langkah 1: Hitung B + C
B + C = [[1+(-3), 0+4],
            [0+1, 1+2],
            [-1+2, 2+(-3)]]
B + C = [[-2, 4],
            [1, 3],
            [1, -1]] (3x2)

Langkah 2: Hitung A(B + C)
A(B+C) = [[2, 0, -1], [4, 2, 3]] * [[-2, 4],
                                        [1, 3],
                                        [1, -1]]
         = [[(2*-2 + 0*1 + -1*1), (2*4 + 0*3 + -1*-1)],
            [(4*-2 + 2*1 + 3*1), (4*4 + 2*3 + 3*-1)]]
         = [[(-4 + 0 - 1), (8 + 0 + 1)],
            [(-8 + 2 + 3), (16 + 6 - 3)]]
         = [[-5, 9],
            [-3, 19]] (2x2)

Langkah 3: Hitung AB
AB = [[2, 0, -1], [4, 2, 3]] * [[1, 0],
                                    [0, 1],
                                    [-1, 2]]
   = [[(2*1 + 0*0 + -1*-1), (2*0 + 0*1 + -1*2)],
      [(4*1 + 2*0 + 3*-1), (4*0 + 2*1 + 3*2)]]
   = [[(2 + 0 + 1), (0 + 0 - 2)],
      [(4 + 0 - 3), (0 + 2 + 6)]]
   = [[3, -2],
      [1, 8]] (2x2)

Langkah 4: Hitung AC
AC = [[2, 0, -1], [4, 2, 3]] * [[-3, 4],
                                    [1, 2],
                                    [2, -3]]
   = [[(2*-3 + 0*1 + -1*2), (2*4 + 0*2 + -1*-3)],
      [(4*-3 + 2*1 + 3*2), (4*4 + 2*2 + 3*-3)]]
   = [[(-6 + 0 - 2), (8 + 0 + 3)],
      [(-12 + 2 + 6), (16 + 4 - 9)]]
   = [[-8, 11],
      [-4, 11]] (2x2)

Langkah 5: Hitung AB + AC
AB + AC = [[3, -2], [1, 8]] + [[-8, 11], [-4, 11]]
          = [[3+(-8), -2+11], [1+(-4), 8+11]]
          = [[-5, 9],
             [-3, 19]] (2x2)

Kesimpulan:
Berdasarkan perhitungan di atas, dengan asumsi dimensi matriks yang sesuai agar operasi terdefinisi (A 2x3, B 3x2, C 3x2), terbukti bahwa A(B + C) = AB + AC.