Diketahui A=(3 6 9 12) dan N=(6 3 3 2). Matriks E yang

Matriks E adalah [[1/2, 0, 0, 0], [0, 2, 0, 0], [0, 0, 3, 0], [0, 0, 0, 6]].

Pembahasan

Kita diberikan persamaan matriks E.N = A, di mana A = [3 6 9 12] dan N = [6 3 3 2]. Kita ingin mencari matriks E. Karena A dan N adalah matriks baris dengan ukuran yang sama (1x4), maka E haruslah matriks kolom dengan ukuran 4x1 agar hasil perkalian E.N menjadi matriks baris 1x1. Namun, dalam konteks ini, A dan N tampaknya merepresentasikan vektor baris atau matriks 1x4. Jika A dan N adalah matriks 1x4, maka E haruslah matriks 4x4 agar perkalian E.N menghasilkan matriks 1x4. Misalkan E = [[e11, e12, e13, e14], [e21, e22, e23, e24], [e31, e32, e33, e34], [e41, e42, e43, e44]]. Maka:
E.N = [e11*6 + e12*3 + e13*3 + e14*2, e21*6 + e22*3 + e23*3 + e24*2, e31*6 + e32*3 + e33*3 + e34*2, e41*6 + e42*3 + e43*3 + e44*2] = [3 6 9 12].

Ini menghasilkan empat persamaan.
Namun, jika kita menginterpretasikan A dan N sebagai representasi dari sistem persamaan linear atau jika ada informasi tambahan mengenai dimensi matriks, solusinya bisa berbeda. Dengan informasi yang diberikan, jika A dan N adalah matriks 1x4, maka ada banyak kemungkinan matriks E 4x4 yang memenuhi. 

Jika kita menganggap A dan N sebagai vektor baris, dan E adalah matriks yang jika dikalikan dengan N (sebagai vektor baris) menghasilkan A (sebagai vektor baris), maka E bisa menjadi matriks yang memetakan elemen N ke elemen A.

Alternatif lain, jika E adalah matriks 1x4, maka perkalian E.N tidak terdefinisi dalam urutan tersebut. Jika N.E = A, maka E adalah matriks 4x1.

Asumsikan A dan N adalah vektor baris dan kita mencari matriks E (misalnya 4x4) sehingga E * N^T = A^T (transpos). Ini juga tidak sesuai dengan notasi.

Mari kita coba pendekatan lain: Misalkan A dan N adalah matriks 1x4. Maka E harus berukuran 1x1 agar E.N terdefinisi dan menghasilkan matriks 1x4 (jika E adalah skalar dikalikan matriks N), namun E.N = [e*6, e*3, e*3, e*2]. Ini tidak sama dengan [3 6 9 12].

Jika E adalah matriks 4x4 dan N adalah matriks 4x4, maka E.N akan berukuran 4x4. Jika A adalah matriks 4x4, maka:
Misalkan N = [[6, 0, 0, 0], [0, 3, 0, 0], [0, 0, 3, 0], [0, 0, 0, 2]]. Maka E.N = [[6*e11, 3*e12, 3*e13, 2*e14], ...]. Jika A = [[3, 6, 9, 12], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0]], maka:
6*e11 = 3 => e11 = 1/2
3*e12 = 6 => e12 = 2
3*e13 = 9 => e13 = 3
2*e14 = 12 => e14 = 6

Ini masih spekulatif.

Kemungkinan besar, soal ini mengasumsikan A dan N adalah vektor baris, dan E adalah matriks yang operasinya didefinisikan secara spesifik. Jika kita mengasumsikan E adalah matriks 1x4, maka E.N tidak terdefinisi. Jika kita mengasumsikan N.E = A, di mana N adalah 1x4 dan A adalah 1x4, maka E harus 4x1. 
N.E = [6*e1, 3*e2, 3*e3, 2*e4] = [3 6 9 12].
Ini tidak mungkin karena perkalian matriks 1x4 dengan matriks 4x1 menghasilkan matriks 1x1.

Jika E adalah matriks 4x4, N adalah matriks 4x1, dan A adalah matriks 4x1.
N = [[6], [3], [3], [2]]
A = [[3], [6], [9], [12]]
E.N = A
[[e11, e12, e13, e14], [e21, e22, e23, e24], [e31, e32, e33, e34], [e41, e42, e43, e44]] * [[6], [3], [3], [2]] = [[3], [6], [9], [12]]

Ini memberikan 4 persamaan dengan 16 variabel. Untuk mendapatkan solusi unik untuk E, kita perlu lebih banyak informasi atau asumsi.

Namun, jika kita melihat struktur soal, kemungkinan besar A dan N adalah vektor baris, dan E adalah matriks sedemikian rupa sehingga perkalian E.N menghasilkan A. Ini hanya mungkin jika E adalah matriks 1x1 (skalar) yang dikalikan dengan N, atau jika ada definisi perkalian yang berbeda.

Jika kita menganggap A dan N sebagai matriks 1x4, dan kita mencari matriks E 4x4 sehingga E.N = A, maka ini tidak mungkin karena dimensi perkalian tidak sesuai untuk menghasilkan matriks 1x4 dari matriks 4x4 dikalikan 1x4.

Kemungkinan terbesar dari soal ini adalah: A dan N adalah vektor baris, dan kita mencari matriks E (misalnya 4x4) yang jika dikalikan dengan transpos dari N (N^T, matriks 4x1) menghasilkan transpos dari A (A^T, matriks 4x1). Atau, A dan N adalah matriks 1x4, dan kita mencari matriks E sehingga E.N = A. Maka E haruslah matriks 1x1 (skalar). Tapi jika E adalah skalar, maka E*N = [6E, 3E, 3E, 2E] yang tidak sama dengan [3, 6, 9, 12].

Jika soal berarti A = E * N, di mana A adalah 1x4, N adalah 1x4, maka E harus 1x1. Tetapi perkaliannya tidak sesuai.

Mari kita asumsikan bahwa A dan N adalah vektor baris dan kita mencari matriks E (1x4) sehingga A = E * N^T (N transpose).
N^T = [[6], [3], [3], [2]]. A = [3 6 9 12].
E * [[6], [3], [3], [2]] = [3 6 9 12]. Ini tidak mungkin karena hasil perkalian E (1x4) dengan N^T (4x1) adalah matriks 1x1.

Satu-satunya interpretasi yang masuk akal adalah jika A dan N adalah vektor baris, dan kita mencari matriks E yang memungkinkan persamaan tersebut. Jika A dan N adalah vektor baris, maka E.N = A berarti:
E = A / N (secara elemen). Ini bukan operasi matriks standar.

Jika kita menganggap A dan N sebagai barisan bilangan dan kita ingin mencari matriks E yang memetakan N ke A, dan jika E adalah matriks diagonal, misalnya:
E = [[e1, 0, 0, 0], [0, e2, 0, 0], [0, 0, e3, 0], [0, 0, 0, e4]].
E.N = [[e1*6, e2*3, e3*3, e4*2]]
[[6*e1, 3*e2, 3*e3, 2*e4]] = [3 6 9 12]

Maka:
6*e1 = 3 => e1 = 1/2
3*e2 = 6 => e2 = 2
3*e3 = 9 => e3 = 3
2*e4 = 12 => e4 = 6

Maka matriks E adalah matriks diagonal:
E = [[1/2, 0, 0, 0], [0, 2, 0, 0], [0, 0, 3, 0], [0, 0, 0, 6]]