lim x->1 (x^(2/3)-2 x^(1/3)+1)/((x-1)^2)= ...

1/9

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2/3} - 2x^{1/3} + 1}{(x-1)^2}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena ketika x=1, bentuknya adalah 0/0. 

Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(x^{2/3} - 2x^{1/3} + 1) = \frac{2}{3}x^{-1/3} - \frac{2}{3}x^{-2/3}$
Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}((x-1)^2) = 2(x-1)$

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3}x^{-1/3} - \frac{2}{3}x^{-2/3}}{2(x-1)}$

Bentuknya masih 0/0, jadi kita gunakan L'Hopital lagi.
Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(\frac{2}{3}x^{-1/3} - \frac{2}{3}x^{-2/3}) = \frac{2}{3}(-\frac{1}{3})x^{-4/3} - \frac{2}{3}(-\frac{2}{3})x^{-5/3} = -rac{2}{9}x^{-4/3} + \frac{4}{9}x^{-5/3}$
Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}(2(x-1)) = 2$

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 1} \frac{-\frac{2}{9}x^{-4/3} + \frac{4}{9}x^{-5/3}}{2}$

Substitusikan x=1:
$\frac{-\frac{2}{9}(1)^{-4/3} + \frac{4}{9}(1)^{-5/3}}{2} = \frac{-\frac{2}{9} + \frac{4}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9}$

Jadi, nilai limitnya adalah 1/9.