Diketahui A(3,2,-1), B(2,1,0), dan C(-1,2,3). Kosinus sudut

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Pembahasan

Untuk mencari kosinus sudut antara ruas garis berarah AB dan AC, kita perlu mencari vektor AB dan AC terlebih dahulu, lalu menggunakan rumus perkalian dot.

Diketahui:
A(3, 2, -1)
B(2, 1, 0)
C(-1, 2, 3)

1. Cari vektor AB:
$\|\vec{AB}\| = B - A = (2-3, 1-2, 0-(-1)) = (-1, -1, 1)$

2. Cari vektor AC:
$\|\vec{AC}\| = C - A = (-1-3, 2-2, 3-(-1)) = (-4, 0, 4)$

3. Hitung perkalian dot AB . AC:
$\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\| = (-1)(-4) + (-1)(0) + (1)(4) = 4 + 0 + 4 = 8$

4. Hitung panjang vektor AB:
$\|\vec{AB}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

5. Hitung panjang vektor AC:
$\|\vec{AC}\| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 0 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

6. Gunakan rumus kosinus sudut:
$\\\cos \theta = \frac{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|}{\|\vec{AB}\| \|\vec{AC}\|}$

$\\\cos \theta = \frac{8}{(\sqrt{3})(4\sqrt{2})}$

$\\\cos \theta = \frac{8}{4\sqrt{6}}$

$\\\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\\\cos \theta = \frac{2\sqrt{6}}{6}$

$\\\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Jadi, kosinus sudut antara ruas garis berarah AB dan AC adalah $\frac{\sqrt{6}}{3}$.