Diketahui A^T adalah transpose matriks A. Jika A=(a 1 -1

Nilai a+b adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal matriks ini, kita perlu menghitung A$^T$, kemudian melakukan perkalian matriks A dengan A$^T$, menjumlahkannya dengan B, dan menyamakannya dengan A untuk menemukan nilai a dan b.

Diketahui:
Matriks A = $\begin{pmatrix} a & 1 \ -1 & -3 \end{pmatrix}$
Matriks B = $\begin{pmatrix} 1-a^2 & a+4 \ b & -13 \end{pmatrix}$
Persamaan: A$^T$A + B = A

1.  **Menghitung A$^T$ (Transpose dari A):**
    A$^T$ = $\begin{pmatrix} a & -1 \ 1 & -3 \end{pmatrix}$

2.  **Menghitung A$^T$A:**
    A$^T$A = $\begin{pmatrix} a & -1 \ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \ -1 & -3 \end{pmatrix}$
    A$^T$A = $\begin{pmatrix} (a \cdot a + (-1) \cdot (-1)) & (a \cdot 1 + (-1) \cdot (-3)) \ (1 \cdot a + (-3) \cdot (-1)) & (1 \cdot 1 + (-3) \cdot (-3)) \end{pmatrix}$
    A$^T$A = $\begin{pmatrix} a^2 + 1 & a + 3 \ a + 3 & 1 + 9 \end{pmatrix}$
    A$^T$A = $\begin{pmatrix} a^2 + 1 & a + 3 \ a + 3 & 10 \end{pmatrix}$

3.  **Menghitung A$^T$A + B:**
    A$^T$A + B = $\begin{pmatrix} a^2 + 1 & a + 3 \ a + 3 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1-a^2 & a+4 \ b & -13 \end{pmatrix}$
    A$^T$A + B = $\begin{pmatrix} (a^2 + 1) + (1-a^2) & (a + 3) + (a+4) \ (a + 3) + b & 10 + (-13) \end{pmatrix}$
    A$^T$A + B = $\begin{pmatrix} 2 & 2a+7 \ a+b+3 & -3 \end{pmatrix}$

4.  **Menyamakan A$^T$A + B dengan A:**
    $\begin{pmatrix} 2 & 2a+7 \ a+b+3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 1 \ -1 & -3 \end{pmatrix}$

Dari kesamaan matriks elemen per elemen, kita dapatkan beberapa persamaan:

*   Elemen baris 1, kolom 1: $2 = a$
*   Elemen baris 1, kolom 2: $2a+7 = 1$
*   Elemen baris 2, kolom 1: $a+b+3 = -1$
*   Elemen baris 2, kolom 2: $-3 = -3$ (Ini konsisten)

Dari persamaan pertama, kita dapatkan $a=2$. Mari kita cek dengan persamaan kedua:
$2a+7 = 1 
2(2)+7 = 1 
4+7 = 1 
11 = 1$ (Ini kontradiksi, yang berarti ada kesalahan dalam soal atau dalam interpretasi soal).

Mari kita asumsikan soalnya adalah A A$^T$+B=A. (Kadang urutan perkalian matriks penting).

1.  **Menghitung A A$^T$:**
    A A$^T$ = $\begin{pmatrix} a & 1 \ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & -1 \ 1 & -3 \end{pmatrix}$
    A A$^T$ = $\begin{pmatrix} (a \cdot a + 1 \cdot 1) & (a \cdot (-1) + 1 \cdot (-3)) \ ((-1) \cdot a + (-3) \cdot 1) & ((-1) \cdot (-1) + (-3) \cdot (-3)) \end{pmatrix}$
    A A$^T$ = $\begin{pmatrix} a^2 + 1 & -a - 3 \ -a - 3 & 1 + 9 \end{pmatrix}$
    A A$^T$ = $\begin{pmatrix} a^2 + 1 & -a - 3 \ -a - 3 & 10 \end{pmatrix}$

2.  **Menghitung A A$^T$ + B:**
    A A$^T$ + B = $\begin{pmatrix} a^2 + 1 & -a - 3 \ -a - 3 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1-a^2 & a+4 \ b & -13 \end{pmatrix}$
    A A$^T$ + B = $\begin{pmatrix} (a^2 + 1) + (1-a^2) & (-a - 3) + (a+4) \ (-a - 3) + b & 10 + (-13) \end{pmatrix}$
    A A$^T$ + B = $\begin{pmatrix} 2 & 1 \ b-a-3 & -3 \end{pmatrix}$

3.  **Menyamakan A A$^T$ + B dengan A:**
    $\begin{pmatrix} 2 & 1 \ b-a-3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 1 \ -1 & -3 \end{pmatrix}$

Dari kesamaan elemen:
*   Baris 1, kolom 1: $2 = a$
*   Baris 1, kolom 2: $1 = 1$ (Konsisten)
*   Baris 2, kolom 1: $b-a-3 = -1$
*   Baris 2, kolom 2: $-3 = -3$ (Konsisten)

Dari persamaan $2=a$, kita dapatkan $a=2$.
Substitusikan $a=2$ ke persamaan baris 2, kolom 1:
$b - 2 - 3 = -1$
$b - 5 = -1$
$b = -1 + 5$
$b = 4$

Jadi, nilai $a=2$ dan $b=4$.

4.  **Menghitung a + b:**
    $a + b = 2 + 4 = 6$.

Jika soal memang A A$^T$ + B = A, maka jawabannya adalah 6.