Nilai minimum f(x,y)=30x+40y pada daerah yang dibatasi

60

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi f(x,y) = 30x + 40y pada daerah yang dibatasi oleh pertidaksamaan x + y <= 4, x + 3y <= 6, x + y >= 2, dan y >= 0, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Menentukan Daerah yang Diarsir (Feasible Region):**
    *   Gambarkan garis-garis yang sesuai dengan setiap pertidaksamaan.
    *   x + y = 4
    *   x + 3y = 6
    *   x + y = 2
    *   y = 0 (sumbu x)
    *   Tentukan daerah yang memenuhi semua kondisi pertidaksamaan. Daerah ini akan menjadi poligon tertutup.

2.  **Menentukan Titik-titik Sudut (Vertices) dari Daerah yang Diarsir:**
    *   Titik-titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis batas.
    *   Perpotongan x + y = 4 dan y = 0: x = 4, y = 0 -> (4, 0)
    *   Perpotongan x + y = 2 dan y = 0: x = 2, y = 0 -> (2, 0)
    *   Perpotongan x + 3y = 6 dan y = 0: x = 6, y = 0 -> (6, 0). Namun, titik ini tidak memenuhi x+y<=4 dan x+y>=2, sehingga tidak termasuk dalam daerah layak. Kita perlu cari titik lain.
    *   Perpotongan x + y = 4 dan x + 3y = 6:
        *   Kurangi persamaan pertama dari kedua: (x + 3y) - (x + y) = 6 - 4 -> 2y = 2 -> y = 1
        *   Substitusikan y = 1 ke x + y = 4: x + 1 = 4 -> x = 3. Titik potongnya adalah (3, 1).
    *   Perpotongan x + y = 2 dan x + 3y = 6:
        *   Kurangi persamaan pertama dari kedua: (x + 3y) - (x + y) = 6 - 2 -> 2y = 4 -> y = 2
        *   Substitusikan y = 2 ke x + y = 2: x + 2 = 2 -> x = 0. Titik potongnya adalah (0, 2). Namun, titik ini tidak memenuhi x+3y<=6 (0+3*2=6, terpenuhi) dan x+y>=2 (0+2=2, terpenuhi) serta y>=0 (terpenuhi) dan x+y<=4 (0+2=2<=4, terpenuhi). Jadi (0,2) adalah salah satu titik sudut.
    *   Perpotongan x + y = 2 dan y = 0: x = 2, y = 0 -> (2, 0)
    *   Perpotongan x + y = 4 dan y = 0: x = 4, y = 0 -> (4, 0)
    *   Perpotongan x + 3y = 6 dengan x + y = 2: x = 2-y. Substitusi ke x+3y=6: (2-y)+3y=6 -> 2+2y=6 -> 2y=4 -> y=2. Maka x = 2-2 = 0. Titik potong (0,2).
    *   Perpotongan x + 3y = 6 dengan y = 0: x = 6. Titik (6,0).
    *   Perpotongan x + y = 4 dengan x + 3y = 6: Dari x+y=4, x=4-y. Substitusi ke x+3y=6: (4-y)+3y=6 -> 4+2y=6 -> 2y=2 -> y=1. Maka x = 4-1=3. Titik potong (3,1).
    *   Perpotongan x + y = 2 dengan y = 0: x=2. Titik (2,0).
    *   Perpotongan x + y = 4 dengan y = 0: x=4. Titik (4,0).

    Titik-titik sudut yang valid adalah: (2, 0), (4, 0), (3, 1), dan (0, 2).

3.  **Mengevaluasi Fungsi Tujuan di Setiap Titik Sudut:**
    *   f(2, 0) = 30(2) + 40(0) = 60
    *   f(4, 0) = 30(4) + 40(0) = 120
    *   f(3, 1) = 30(3) + 40(1) = 90 + 40 = 130
    *   f(0, 2) = 30(0) + 40(2) = 80

4.  **Menentukan Nilai Minimum:**
    Nilai minimum dari fungsi f(x,y) adalah nilai terkecil dari hasil evaluasi di atas.

Nilai minimum f(x,y) = 30x + 40y pada daerah yang dibatasi oleh x + y <= 4, x + 3y <= 6, x + y >= 2, dan y >= 0 adalah 60.