Diketahui akar-akar persamaan 2x^4-13x^3+12x^2+52x-80

2 dan 5/2

Pembahasan

Soal ini berkaitan denganTeorema Vieta untuk persamaan polinomial. Diketahui persamaan polinomial 2x^4 - 13x^3 + 12x^2 + 52x - 80 = 0. Kita diberitahu bahwa -2 dan 4 adalah akar-akar dari persamaan ini. Menurut Teorema Vieta, jika x1, x2, x3, x4 adalah akar-akar dari persamaan polinomial ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, maka jumlah akar-akar adalah x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a, dan hasil kali akar-akar adalah x1 * x2 * x3 * x4 = e/a. Dalam kasus ini, a=2, b=-13, c=12, d=52, dan e=-80. Misalkan akar-akar yang diketahui adalah x1 = -2 dan x2 = 4. Jumlah keempat akar adalah x1 + x2 + x3 + x4 = -(-13)/2 = 13/2. Maka, -2 + 4 + x3 + x4 = 13/2, yang menyederhanakan menjadi 2 + x3 + x4 = 13/2, atau x3 + x4 = 13/2 - 2 = 9/2. Hasil kali keempat akar adalah x1 * x2 * x3 * x4 = (-80)/2 = -40. Maka, (-2) * 4 * x3 * x4 = -40, yang menyederhanakan menjadi -8 * x3 * x4 = -40, atau x3 * x4 = 5. Sekarang kita memiliki sistem persamaan: x3 + x4 = 9/2 dan x3 * x4 = 5. Kita dapat membentuk persamaan kuadrat dengan akar x3 dan x4: y^2 - (x3 + x4)y + (x3 * x4) = 0. Mengganti nilai yang diketahui: y^2 - (9/2)y + 5 = 0. Untuk menghilangkan pecahan, kita dapat mengalikan seluruh persamaan dengan 2: 2y^2 - 9y + 10 = 0. Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini: (2y - 5)(y - 2) = 0. Dari sini, kita mendapatkan y = 5/2 atau y = 2. Jadi, dua akar lainnya adalah 2 dan 5/2.