Tentukanlah akar-akar rasional (jika ada), dari setiap

Akar-akar rasionalnya adalah -1 dan 2.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar rasional dari persamaan polinomial $x^4 - 2x^2 - 3x - 2 = 0$, kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional.

Teorema Akar Rasional menyatakan bahwa jika sebuah polinomial dengan koefisien bilangan bulat memiliki akar rasional p/q (di mana p dan q adalah bilangan bulat yang saling prima), maka p haruslah faktor dari konstanta suku (yaitu -2), dan q haruslah faktor dari koefisien suku utama (yaitu 1).

Faktor-faktor dari konstanta suku (-2) adalah: ±1, ±2.
Faktor-faktor dari koefisien suku utama (1) adalah: ±1.

Jadi, kemungkinan akar rasional (p/q) adalah: ±1/1, ±2/1, yaitu ±1, ±2.

Sekarang kita akan menguji setiap kemungkinan akar dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan:
P(x) = $x^4 - 2x^2 - 3x - 2$

Uji x = 1:
P(1) = $(1)^4 - 2(1)^2 - 3(1) - 2 = 1 - 2 - 3 - 2 = -6 
eq 0$.
Jadi, x = 1 bukan akar.

Uji x = -1:
P(-1) = $(-1)^4 - 2(-1)^2 - 3(-1) - 2 = 1 - 2(1) + 3 - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$.
Jadi, x = -1 adalah salah satu akar rasional.

Karena x = -1 adalah akar, maka (x + 1) adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita dapat menggunakan pembagian polinomial (sintetik atau bersusun) untuk membagi $x^4 - 2x^2 - 3x - 2$ dengan (x + 1).

Menggunakan pembagian sintetik dengan -1:
```
-1 | 1   0   -2   -3   -2
   |    -1    1    1    2
   --------------------
     1  -1   -1   -2    0
```
Hasil pembagiannya adalah polinomial derajat 3: $x^3 - x^2 - x - 2$.

Sekarang kita perlu mencari akar rasional dari $x^3 - x^2 - x - 2 = 0$. Kemungkinan akar rasionalnya masih sama: ±1, ±2.

Uji x = 1 (sudah kita uji sebelumnya, tidak nol):
P(1) = $1^3 - 1^2 - 1 - 2 = 1 - 1 - 1 - 2 = -3 
eq 0$.

Uji x = -1:
P(-1) = $(-1)^3 - (-1)^2 - (-1) - 2 = -1 - 1 + 1 - 2 = -3 
eq 0$.

Uji x = 2:
P(2) = $(2)^3 - (2)^2 - (2) - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$.
Jadi, x = 2 adalah salah satu akar rasional.

Karena x = 2 adalah akar, maka (x - 2) adalah faktor dari $x^3 - x^2 - x - 2$. Kita bagi lagi polinomial ini dengan (x - 2) menggunakan pembagian sintetik dengan 2:
```
2 | 1   -1   -1   -2
  |     2    2    2
  ------------------
    1    1    1    0
```
Hasil pembagiannya adalah polinomial kuadrat: $x^2 + x + 1$.

Sekarang kita perlu mencari akar dari persamaan kuadrat $x^2 + x + 1 = 0$. Kita bisa menggunakan rumus kuadratik $x = \frac{-b 
ac 
ac \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Di sini, a = 1, b = 1, c = 1.
Diskriminan ($D$) = $b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.
Karena diskriminannya negatif ($D < 0$), akar-akar dari persamaan kuadrat ini adalah imajiner (kompleks), bukan rasional.

Jadi, akar-akar rasional dari persamaan $x^4 - 2x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah x = -1 dan x = 2.

Kesimpulan:
Akar-akar rasional dari persamaan $x^4 - 2x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah -1 dan 2.