Tentukan akar-akar persamaan suku banyak

Akar-akar persamaan adalah (1 ± sqrt(5))/2 dan (3 ± sqrt(13))/2.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar persamaan suku banyak x^4 - 4x^3 + x^2 + 4x + 1 = 0 dengan petunjuk y = x - (1/x), kita perlu memanipulasi persamaan tersebut. Pertama, bagi seluruh persamaan dengan x^2 (dengan asumsi x ≠ 0, yang dapat diperiksa kemudian bahwa x=0 bukan solusi): x^2 - 4x + 1 + 4/x + 1/x^2 = 0. Kelompokkan suku-suku yang serupa: (x^2 + 1/x^2) - 4(x - 1/x) + 1 = 0. Kita tahu bahwa y = x - 1/x, sehingga y^2 = (x - 1/x)^2 = x^2 - 2(x)(1/x) + 1/x^2 = x^2 - 2 + 1/x^2. Dari sini, kita dapatkan x^2 + 1/x^2 = y^2 + 2. Substitusikan kembali ke dalam persamaan yang dikelompokkan: (y^2 + 2) - 4y + 1 = 0. Sederhanakan menjadi persamaan kuadrat dalam y: y^2 - 4y + 3 = 0. Faktorkan persamaan kuadrat ini: (y - 1)(y - 3) = 0. Dari sini kita dapatkan dua kemungkinan nilai y: y = 1 atau y = 3. Sekarang, substitusikan kembali y = x - 1/x untuk setiap nilai y. Kasus 1: y = 1 => x - 1/x = 1. Kalikan dengan x: x^2 - 1 = x => x^2 - x - 1 = 0. Gunakan rumus kuadratik x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a: x = [1 ± sqrt((-1)^2 - 4(1)(-1))] / 2(1) = [1 ± sqrt(1 + 4)] / 2 = (1 ± sqrt(5)) / 2. Kasus 2: y = 3 => x - 1/x = 3. Kalikan dengan x: x^2 - 1 = 3x => x^2 - 3x - 1 = 0. Gunakan rumus kuadratik: x = [3 ± sqrt((-3)^2 - 4(1)(-1))] / 2(1) = [3 ± sqrt(9 + 4)] / 2 = (3 ± sqrt(13)) / 2. Jadi, akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah (1 + sqrt(5))/2, (1 - sqrt(5))/2, (3 + sqrt(13))/2, dan (3 - sqrt(13))/2. Perlu diperiksa bahwa x=0 bukan solusi, yang memang benar karena substitusi x=0 ke persamaan asli menghasilkan 1=0.