Diketahui ax^2+bx+c=0 mempunyai akar-akar penyelesaian x1

Bagian 1: a. x^2-5x+6=0, b. x^2-x-6=0, c. x^2+x-6=0, d. x^2+5x+6=0. Bagian 3: x1+x2=3, x1*x2=3/2

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk membentuk persamaan kuadrat berdasarkan akar-akarnya dan juga menggunakan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Bagian 1: Menuliskan persamaan kuadrat yang mempunyai penyelesaian berikut.
Bentuk umum persamaan kuadrat dengan akar x1 dan x2 adalah x^2 - (x1 + x2)x + x1*x2 = 0.

a. Akar 2 dan 3:
x1 + x2 = 2 + 3 = 5
x1 * x2 = 2 * 3 = 6
Persamaan: x^2 - 5x + 6 = 0

b. Akar -2 dan 3:
x1 + x2 = -2 + 3 = 1
x1 * x2 = -2 * 3 = -6
Persamaan: x^2 - 1x - 6 = 0  atau  x^2 - x - 6 = 0

c. Akar 2 dan -3:
x1 + x2 = 2 + (-3) = -1
x1 * x2 = 2 * (-3) = -6
Persamaan: x^2 - (-1)x - 6 = 0  atau  x^2 + x - 6 = 0

d. Akar -2 dan -3:
x1 + x2 = -2 + (-3) = -5
x1 * x2 = -2 * (-3) = 6
Persamaan: x^2 - (-5)x + 6 = 0  atau  x^2 + 5x + 6 = 0

Bagian 2: Memperlihatkan bahwa: x1+x2=-b/a dan (x1)(x2)=c/a.
Dari persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0, jika akar-akarnya adalah x1 dan x2, maka kita dapat menulis persamaan tersebut sebagai a(x - x1)(x - x2) = 0.
Mengalikan faktor-faktornya:
a(x^2 - x2*x - x1*x + x1*x2) = 0
a(x^2 - (x1 + x2)x + x1*x2) = 0
ax^2 - a(x1 + x2)x + a(x1*x2) = 0

Dengan membandingkan koefisien dari persamaan ax^2 + bx + c = 0 dengan ax^2 - a(x1 + x2)x + a(x1*x2) = 0, kita dapatkan:
b = -a(x1 + x2)  =>  x1 + x2 = -b/a
c = a(x1*x2)    =>  x1 * x2 = c/a
Ini membuktikan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Bagian 3: Menghitung x1+x2 dan (x1)(x2) tanpa mencari penyelesaian dari persamaan 2x^2 - 6x + 3 = 0.
Dalam persamaan ini, a = 2, b = -6, dan c = 3.

Jumlah akar-akar (x1 + x2):
x1 + x2 = -b/a = -(-6)/2 = 6/2 = 3.

Hasil kali akar-akar (x1 * x2):
x1 * x2 = c/a = 3/2.

Jadi, untuk persamaan 2x^2 - 6x + 3 = 0, jumlah akar-akarnya adalah 3 dan hasil kali akar-akarnya adalah 3/2.