Kelas 12Kelas 10Kelas 11mathGeometri Bangun RuangVektor
Diketahui balok A B C D E F G H dengan panjang A B= 8 cm, B
Pertanyaan
Diketahui balok ABCD EFGH dengan panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AE = 24 cm. Titik x merupakan pertengahan rusuk DH. Hitunglah jarak titik x ke garis AC dan jarak titik x ke garis AG.
Solusi
Verified
Jarak x ke AC adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{5}\) cm dan jarak x ke AG adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{13}\) cm.
Pembahasan
Diberikan balok ABCDEFGH dengan panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AE = 24 cm. Titik X adalah pertengahan rusuk DH. Kita perlu mencari jarak titik X ke garis AC dan jarak titik X ke garis AG. Pertama, kita tentukan koordinat titik-titik balok. Misalkan A = (0, 0, 0). Karena AB sejajar sumbu x, BC sejajar sumbu y, dan AE sejajar sumbu z: B = (8, 0, 0) C = (8, 6, 0) D = (0, 6, 0) E = (0, 0, 24) F = (8, 0, 24) G = (8, 6, 24) H = (0, 6, 24) Titik X adalah pertengahan rusuk DH. Koordinat D = (0, 6, 0) dan H = (0, 6, 24). Koordinat X = (\(\frac{0+0}{2}\), \(\frac{6+6}{2}\), \(\frac{0+24}{2}\)) = (0, 6, 12). 1. Jarak titik X ke garis AC: Garis AC melewati titik A=(0,0,0) dan C=(8,6,0). Vektor arah garis AC adalah \(\vec{AC} = C - A = (8, 6, 0)\). Sebuah titik pada garis AC dapat direpresentasikan sebagai P(t) = A + t \(\vec{AC}\) = (8t, 6t, 0). Vektor dari A ke X adalah \(\vec{AX} = X - A = (0, 6, 12)\). Jarak titik X ke garis AC dapat dihitung menggunakan rumus: d = \(\frac{| \vec{AX} \times \vec{AC} |}{| \vec{AC} |}\) Hitung \(\vec{AX} \times \vec{AC}\): \(\vec{AX} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 6 & 12 \\ 8 & 6 & 0 \end{vmatrix}\) = \(i(6*0 - 12*6) - j(0*0 - 12*8) + k(0*6 - 6*8)\) = \(i(0 - 72) - j(0 - 96) + k(0 - 48)\) = \(-72i + 96j - 48k)\) = (-72, 96, -48) Hitung | \(\vec{AX} \times \vec{AC}\)|: | \(\vec{AX} \times \vec{AC}\)| = \(\sqrt{(-72)^2 + 96^2 + (-48)^2}\) = \(\sqrt{5184 + 9216 + 2304}\) = \(\sqrt{16704}\) = 12 \(\sqrt{116}\) = 24 \(\sqrt{29}\) Hitung | \(\vec{AC}\)|: | \(\vec{AC}\)| = \(\sqrt{8^2 + 6^2 + 0^2}\) = \(\sqrt{64 + 36 + 0}\) = \(\sqrt{100}\) = 10 Jarak X ke garis AC = \(\frac{24 \sqrt{29}}{10}\) = \(\frac{12 \sqrt{29}}{5}\) cm. 2. Jarak titik X ke garis AG: Garis AG melewati titik A=(0,0,0) dan G=(8,6,24). Vektor arah garis AG adalah \(\vec{AG} = G - A = (8, 6, 24)\). Vektor dari A ke X adalah \(\vec{AX} = (0, 6, 12)\). Jarak titik X ke garis AG dapat dihitung menggunakan rumus: d = \(\frac{| \vec{AX} \times \vec{AG} |}{| \vec{AG} |}\) Hitung \(\vec{AX} \times \vec{AG}\): \(\vec{AX} \times \vec{AG} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 6 & 12 \\ 8 & 6 & 24 \end{vmatrix}\) = \(i(6*24 - 12*6) - j(0*24 - 12*8) + k(0*6 - 6*8)\) = \(i(144 - 72) - j(0 - 96) + k(0 - 48)\) = \(72i + 96j - 48k)\) = (72, 96, -48) Hitung | \(\vec{AX} \times \vec{AG}\)|: | \(\vec{AX} \times \vec{AG}\)| = \(\sqrt{72^2 + 96^2 + (-48)^2}\) = \(\sqrt{5184 + 9216 + 2304}\) = \(\sqrt{16704}\) = 12 \(\sqrt{116}\) = 24 \(\sqrt{29}\) Hitung | \(\vec{AG}\)|: | \(\vec{AG}\)| = \(\sqrt{8^2 + 6^2 + 24^2}\) = \(\sqrt{64 + 36 + 576}\) = \(\sqrt{100 + 576}\) = \(\sqrt{676}\) = 26 Jarak X ke garis AG = \(\frac{24 \sqrt{29}}{26}\) = \(\frac{12 \sqrt{29}}{13}\) cm. Jadi, jarak titik X ke garis AC adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{5}\) cm, dan jarak titik X ke garis AG adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{13}\) cm.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Jarak Titik Ke Garis Dalam Ruang
Section: Aplikasi Vektor Dalam Geometri Ruang
Apakah jawaban ini membantu?