Diketahui balok A B C D E F G H dengan panjang A B= 8 cm, B

Jarak x ke AC adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{5}\) cm dan jarak x ke AG adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{13}\) cm.

Pembahasan

Diberikan balok ABCDEFGH dengan panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AE = 24 cm. Titik X adalah pertengahan rusuk DH.

Kita perlu mencari jarak titik X ke garis AC dan jarak titik X ke garis AG.

Pertama, kita tentukan koordinat titik-titik balok. Misalkan A = (0, 0, 0).
Karena AB sejajar sumbu x, BC sejajar sumbu y, dan AE sejajar sumbu z:
B = (8, 0, 0)
C = (8, 6, 0)
D = (0, 6, 0)
E = (0, 0, 24)
F = (8, 0, 24)
G = (8, 6, 24)
H = (0, 6, 24)

Titik X adalah pertengahan rusuk DH. Koordinat D = (0, 6, 0) dan H = (0, 6, 24).
Koordinat X = (\(\frac{0+0}{2}\), \(\frac{6+6}{2}\), \(\frac{0+24}{2}\)) = (0, 6, 12).

1. Jarak titik X ke garis AC:
Garis AC melewati titik A=(0,0,0) dan C=(8,6,0). Vektor arah garis AC adalah \(\vec{AC} = C - A = (8, 6, 0)\).
Sebuah titik pada garis AC dapat direpresentasikan sebagai P(t) = A + t \(\vec{AC}\) = (8t, 6t, 0).
Vektor dari A ke X adalah \(\vec{AX} = X - A = (0, 6, 12)\).
Jarak titik X ke garis AC dapat dihitung menggunakan rumus:
d = \(\frac{| \vec{AX} \times \vec{AC} |}{| \vec{AC} |}\)

Hitung \(\vec{AX} \times \vec{AC}\):
\(\vec{AX} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 6 & 12 \\ 8 & 6 & 0 \end{vmatrix}\) = \(i(6*0 - 12*6) - j(0*0 - 12*8) + k(0*6 - 6*8)\)
= \(i(0 - 72) - j(0 - 96) + k(0 - 48)\)
= \(-72i + 96j - 48k)\) = (-72, 96, -48)

Hitung | \(\vec{AX} \times \vec{AC}\)|:
| \(\vec{AX} \times \vec{AC}\)| = \(\sqrt{(-72)^2 + 96^2 + (-48)^2}\)
= \(\sqrt{5184 + 9216 + 2304}\)
= \(\sqrt{16704}\) = 12 \(\sqrt{116}\) = 24 \(\sqrt{29}\)

Hitung | \(\vec{AC}\)|:
| \(\vec{AC}\)| = \(\sqrt{8^2 + 6^2 + 0^2}\)
= \(\sqrt{64 + 36 + 0}\)
= \(\sqrt{100}\) = 10

Jarak X ke garis AC = \(\frac{24 \sqrt{29}}{10}\) = \(\frac{12 \sqrt{29}}{5}\) cm.

2. Jarak titik X ke garis AG:
Garis AG melewati titik A=(0,0,0) dan G=(8,6,24). Vektor arah garis AG adalah \(\vec{AG} = G - A = (8, 6, 24)\).
Vektor dari A ke X adalah \(\vec{AX} = (0, 6, 12)\).
Jarak titik X ke garis AG dapat dihitung menggunakan rumus:
d = \(\frac{| \vec{AX} \times \vec{AG} |}{| \vec{AG} |}\)

Hitung \(\vec{AX} \times \vec{AG}\):
\(\vec{AX} \times \vec{AG} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 6 & 12 \\ 8 & 6 & 24 \end{vmatrix}\) = \(i(6*24 - 12*6) - j(0*24 - 12*8) + k(0*6 - 6*8)\)
= \(i(144 - 72) - j(0 - 96) + k(0 - 48)\)
= \(72i + 96j - 48k)\) = (72, 96, -48)

Hitung | \(\vec{AX} \times \vec{AG}\)|:
| \(\vec{AX} \times \vec{AG}\)| = \(\sqrt{72^2 + 96^2 + (-48)^2}\)
= \(\sqrt{5184 + 9216 + 2304}\)
= \(\sqrt{16704}\) = 12 \(\sqrt{116}\) = 24 \(\sqrt{29}\)

Hitung | \(\vec{AG}\)|:
| \(\vec{AG}\)| = \(\sqrt{8^2 + 6^2 + 24^2}\)
= \(\sqrt{64 + 36 + 576}\)
= \(\sqrt{100 + 576}\)
= \(\sqrt{676}\) = 26

Jarak X ke garis AG = \(\frac{24 \sqrt{29}}{26}\) = \(\frac{12 \sqrt{29}}{13}\) cm.

Jadi, jarak titik X ke garis AC adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{5}\) cm, dan jarak titik X ke garis AG adalah \(\frac{12 \sqrt{29}}{13}\) cm.