Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=2 cm,BC=4

Jarak antara garis DH dengan bidang ACGE adalah 4√5 / 5 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara garis DH dengan bidang ACGE pada balok ABCD.EFGH:

Diketahui:
Panjang AB = 2 cm
Panjang BC = 4 cm
Panjang AE = 6 cm

Karena ABCD.EFGH adalah balok, maka:
AB sejajar DC, EF, HG
BC sejajar AD, FG, EH
AE sejajar BF, CG, DH

Sisi-sisi balok tegak lurus satu sama lain.

Garis DH sejajar dengan garis AE, BF, dan CG.
Garis DH adalah rusuk tegak balok.

Bidang ACGE adalah salah satu bidang diagonal balok. Bidang ini dibentuk oleh titik-titik A, C, G, E.

Jarak antara garis DH dengan bidang ACGE adalah jarak tegak lurus dari setiap titik pada garis DH ke bidang ACGE.

Karena DH sejajar dengan AE, dan AE terletak pada bidang ACGE, maka jarak antara garis DH dan bidang ACGE sama dengan jarak antara garis AE dan bidang ACGE.

Namun, lebih tepatnya, kita perlu mencari jarak dari titik D (atau H) ke bidang ACGE.

Perhatikan bidang ACGE. Garis AE dan CG terletak pada bidang ini dan sejajar dengan garis DH.

Jarak dari titik D ke bidang ACGE dapat diukur sepanjang garis yang tegak lurus dari D ke bidang tersebut.

Dalam balok, rusuk AD tegak lurus terhadap rusuk AB dan AE. Rusuk AB terletak pada bidang alas ABCD, dan rusuk AE tegak lurus terhadap bidang alas.

Bidang ACGE dibentuk oleh rusuk AE, CG, AC, dan EG.

Jarak dari titik D ke bidang ACGE adalah sama dengan jarak dari titik D ke garis AC pada bidang alas ABCD, jika kita memproyeksikan D ke bidang ACGE. Namun, ini tidak tepat.

Mari kita pertimbangkan proyeksi titik D pada bidang ACGE. Bidang ACGE memotong bidang alas ABCD sepanjang garis AC.

Jarak terpendek dari titik D ke bidang ACGE adalah jarak tegak lurus dari D ke bidang tersebut.

Dalam balok, jarak antara rusuk DH (yang tegak lurus terhadap bidang alas ABCD) dan bidang ACGE (yang memotong bidang alas sepanjang AC) adalah sama dengan jarak antara titik D dan garis AC pada bidang alas ABCD.

Namun, ini juga tidak benar karena bidang ACGE tidak tegak lurus terhadap bidang alas ABCD. Bidang ACGE miring.

Mari kita lihat dari perspektif lain. Bidang ACGE memuat rusuk AE dan CG. Garis DH sejajar dengan AE dan CG.

Jarak antara garis DH dan bidang ACGE adalah jarak antara salah satu titik pada garis DH (misalnya D) ke bidang ACGE.

Perhatikan bahwa rusuk AD tegak lurus terhadap rusuk AE (yang ada di bidang ACGE) dan rusuk AB. Rusuk AB terletak pada bidang ABCD. Bidang ACGE memotong bidang ABCD sepanjang AC.

Jarak dari titik D ke bidang ACGE adalah sama dengan jarak dari titik D ke garis AC pada bidang ABCD, jika kita menganggap proyeksi D ke bidang ACGE. 

Mari kita gunakan koordinat:
A = (0, 0, 0)
B = (2, 0, 0)
C = (2, 4, 0)
D = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 6)
F = (2, 0, 6)
G = (2, 4, 6)
H = (0, 4, 6)

Garis DH adalah garis yang melalui D(0, 4, 0) dan H(0, 4, 6). Arah vektor DH = H - D = (0, 0, 6).
Garis DH dapat direpresentasikan sebagai P(t) = (0, 4, 0) + t(0, 0, 6) = (0, 4, 6t).

Bidang ACGE melalui titik A(0, 0, 0), C(2, 4, 0), G(2, 4, 6), E(0, 0, 6).
Sebuah vektor normal untuk bidang ACGE dapat ditemukan dengan mengambil cross product dari dua vektor di bidang tersebut, misalnya AC dan AE.
Vektor AC = C - A = (2, 4, 0)
Vektor AE = E - A = (0, 0, 6)

Vektor normal N = AC x AE = 
| i  j  k |
| 2  4  0 |
| 0  0  6 |
N = i(4*6 - 0*0) - j(2*6 - 0*0) + k(2*0 - 4*0)
N = 24i - 12j + 0k = (24, -12, 0)
Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (2, -1, 0).

Persamaan bidang ACGE dengan normal N=(2, -1, 0) dan melalui titik A(0, 0, 0) adalah:
2(x - 0) - 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0
2x - y = 0

Jarak dari titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Titik pada garis DH adalah (0, 4, 6t). Ambil titik D(0, 4, 0) (saat t=0).
Jarak dari D(0, 4, 0) ke bidang 2x - y = 0:
Jarak = |2(0) - 1(4) + 0(0) + 0| / sqrt(2^2 + (-1)^2 + 0^2)
Jarak = |-4| / sqrt(4 + 1)
Jarak = 4 / sqrt(5)
Jarak = 4√5 / 5 cm.

Sekarang, mari kita pertimbangkan jarak dari titik H(0, 4, 6) ke bidang 2x - y = 0:
Jarak = |2(0) - 1(4) + 0(6) + 0| / sqrt(2^2 + (-1)^2 + 0^2)
Jarak = |-4| / sqrt(5)
Jarak = 4 / sqrt(5)
Jarak = 4√5 / 5 cm.

Karena garis DH sejajar dengan bidang ACGE, jarak dari setiap titik pada garis DH ke bidang tersebut adalah sama.

Jadi, jarak antara garis DH dengan bidang ACGE adalah 4√5 / 5 cm.