Tunjukkan bahwa garis 2x-3y+26=0 adalah garis tangen

Garis tersebut adalah garis singgung. Persamaan diameternya adalah 3x + 2y = 0.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa garis 2x - 3y + 26 = 0 adalah garis singgung lingkaran x² + y² - 4x + 6y - 104 = 0, kita perlu memeriksa apakah jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut sama dengan jari-jari lingkaran.

Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
Persamaan lingkaran umum: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
Pusat lingkaran: (-g, -f)
Jari-jari lingkaran: r = √(g² + f² - c)

Dari persamaan lingkaran x² + y² - 4x + 6y - 104 = 0:
2g = -4 => g = -2
2f = 6 => f = 3
c = -104

Pusat lingkaran (P) = (-(-2), -3) = (2, -3)
Jari-jari lingkaran (r) = √((-2)² + 3² - (-104))
r = √(4 + 9 + 104)
r = √117

Langkah 2: Tentukan jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung.
Garis: 2x - 3y + 26 = 0
Rumus jarak dari titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Dengan titik pusat P(2, -3) dan garis 2x - 3y + 26 = 0 (A=2, B=-3, C=26):
d = |2(2) - 3(-3) + 26| / √(2² + (-3)²)
d = |4 + 9 + 26| / √(4 + 9)
d = |39| / √13
d = 39 / √13

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan √13/√13:
d = (39√13) / 13
d = 3√13

Kita perlu membandingkan jarak (d) dengan jari-jari (r).
Perhatikan bahwa √117 = √(9 * 13) = 3√13.
Karena d = 3√13 dan r = 3√13, maka d = r.
Ini menunjukkan bahwa garis 2x - 3y + 26 = 0 memang merupakan garis singgung lingkaran tersebut.

Langkah 3: Tentukan persamaan diameter lingkaran yang melalui titik singgung.
Untuk menemukan titik singgung, kita bisa menggunakan metode substitusi atau mencari garis yang tegak lurus dengan garis singgung melalui pusat lingkaran.

Cara 1: Mencari garis tegak lurus melalui pusat.
Gradien garis singgung (m_garis) = -A/B = -2/(-3) = 2/3.
Gradien garis diameter yang tegak lurus (m_diameter) = -1 / m_garis = -1 / (2/3) = -3/2.

Persamaan garis diameter yang melalui pusat (2, -3) dengan gradien -3/2 adalah:
y - y₁ = m(x - x₁)
y - (-3) = (-3/2)(x - 2)
y + 3 = (-3/2)x + 3
y = (-3/2)x

Untuk memastikan ini adalah diameter yang melalui titik singgung, kita perlu menemukan titik potong antara garis singgung dan garis diameter ini.
Substitusikan y = (-3/2)x ke dalam persamaan garis singgung 2x - 3y + 26 = 0:
2x - 3((-3/2)x) + 26 = 0
2x + (9/2)x + 26 = 0
Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
4x + 9x + 52 = 0
13x = -52
x = -4

Sekarang cari nilai y menggunakan y = (-3/2)x:
y = (-3/2)(-4)
y = 6

Jadi, titik singgungnya adalah (-4, 6).

Persamaan diameter yang melalui titik singgung (-4, 6) dan pusat (2, -3) adalah garis yang sudah kita temukan di atas:
y = (-3/2)x, atau 3x + 2y = 0.

Jawaban ringkas: Garis 2x-3y+26=0 adalah garis singgung lingkaran x²+y²-4x+6y-104=0 karena jarak dari pusat lingkaran (2,-3) ke garis tersebut sama dengan jari-jarinya (3√13). Persamaan diameter yang melalui titik singgung (-4, 6) adalah y = (-3/2)x atau 3x + 2y = 0.