Tentukan nilai m dan n agar pecahan-pecahan berikut dapat

Nilai m = -21 dan n = 18.

Pembahasan

Agar pecahan (6x^3 - 3x^2 + mx + n) / (x^2 + x - 2) dapat disederhanakan, maka pembilang (6x^3 - 3x^2 + mx + n) harus memiliki faktor yang sama dengan penyebut (x^2 + x - 2).

Langkah pertama adalah memfaktorkan penyebut:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Ini berarti agar pecahan dapat disederhanakan, pembilang harus habis dibagi oleh (x + 2) dan (x - 1). Dengan kata lain, akar-akar dari penyebut, yaitu x = -2 dan x = 1, harus menjadi akar-akar dari pembilang.

Menggunakan Teorema Sisa atau substitusi nilai x:

1. Jika x = 1 adalah akar pembilang:
   6(1)^3 - 3(1)^2 + m(1) + n = 0
   6 - 3 + m + n = 0
   3 + m + n = 0
   m + n = -3 (Persamaan 1)

2. Jika x = -2 adalah akar pembilang:
   6(-2)^3 - 3(-2)^2 + m(-2) + n = 0
   6(-8) - 3(4) - 2m + n = 0
   -48 - 12 - 2m + n = 0
   -60 - 2m + n = 0
   -2m + n = 60 (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel m dan n:
   m + n = -3
   -2m + n = 60

Gunakan metode eliminasi untuk mencari nilai m dan n. Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
   (m + n) - (-2m + n) = -3 - 60
   m + n + 2m - n = -63
   3m = -63
   m = -21

Substitusikan nilai m = -21 ke Persamaan 1:
   (-21) + n = -3
   n = -3 + 21
   n = 18

Jadi, agar pecahan tersebut dapat disederhanakan, nilai m adalah -21 dan nilai n adalah 18.