Diketahui barisan geometri dengan U1=1 dan r=1/2. a.

a. n=21. b. n=21 (dengan asumsi interpretasi soal).

Pembahasan

Diberikan barisan geometri dengan suku pertama $U_1 = 1$ dan rasio $r = 1/2$.

a. Tentukan n sekecil mungkin sehingga suku ke-n memenuhi $U_n < 10^{-6}$.
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah $U_n = U_1 \cdot r^{n-1}$.
Kita ingin mencari n sehingga $1 \cdot (1/2)^{n-1} < 10^{-6}$.
$(1/2)^{n-1} < 10^{-6}$
$2^{-(n-1)} < 10^{-6}$
Untuk menyelesaikan ini, kita bisa mengambil logaritma basis 10 pada kedua sisi:
$\, \log(2^{-(n-1)}) < \log(10^{-6})$
$-(n-1) \log(2) < -6$
$n-1 > \frac{-6}{- \log(2)}$
$n-1 > \frac{6}{\, \log(2)}$
Menggunakan $\, \log(2) \approx 0.30103$:
$n-1 > \frac{6}{0.30103}$
$n-1 > 19.93$
$n > 20.93$
Karena n harus bilangan bulat, nilai n sekecil mungkin adalah 21.

b. Tentukan n sekecil mungkin sehingga suku ke-n dari deretnya memenuhi $|S_n - 1| < 10^{-6}$.
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga adalah $S = \frac{U_1}{1-r}$.
Dalam kasus ini, $S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.

Namun, soal meminta $|S_n - 1|$, yang menyiratkan bahwa kita membandingkan jumlah n suku pertama ($S_n$) dengan nilai 1. Perlu diklarifikasi apakah yang dimaksud adalah $|S_n - S|$ atau $|S_n - 1|$. Jika yang dimaksud adalah $S_n$, maka nilai deretnya adalah 2, bukan 1. Jika maksudnya adalah nilai 1 sebagai referensi, maka kita cari $S_n$ yang mendekati 1. Namun, $S_n$ akan mendekati 2, bukan 1.

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik dalam soal dan yang dimaksud adalah nilai deret tak hingga $S$. Karena $S=2$, bukan 1, mari kita coba interpretasi lain: mungkin yang dimaksud adalah selisih $S_n$ dengan nilai absolut deret tak hingga $S$, yaitu $|S_n - S|$.
$|S_n - 2| < 10^{-6}$
Rumus jumlah n suku pertama adalah $S_n = \frac{U_1(1-r^n)}{1-r}$.
$S_n = \frac{1(1 - (1/2)^n)}{1 - 1/2} = \frac{1 - (1/2)^n}{1/2} = 2(1 - (1/2)^n) = 2 - 2(1/2)^n = 2 - (1/2)^{n-1}$.

Maka, $|S_n - 2| = |(2 - (1/2)^{n-1}) - 2| = |-(1/2)^{n-1}| = (1/2)^{n-1}$.
Kita ingin $(1/2)^{n-1} < 10^{-6}$.
Ini sama dengan bagian a.
$n-1 > \frac{6}{\, \log(2)} \approx 19.93$
$n > 20.93$
Jadi, n sekecil mungkin adalah 21.

Jika yang dimaksud memang $|S_n - 1| < 10^{-6}$:
$|2 - (1/2)^{n-1} - 1| < 10^{-6}$
$|1 - (1/2)^{n-1}| < 10^{-6}$
Karena $(1/2)^{n-1}$ akan menjadi sangat kecil untuk n yang besar, $(1/2)^{n-1}$ akan mendekati 0. Jadi, $1 - (1/2)^{n-1}$ akan mendekati 1.
$1 - (1/2)^{n-1} > 1 - 10^{-6}$
$-(1/2)^{n-1} > -10^{-6}$
$(1/2)^{n-1} < 10^{-6}$
Ini kembali mengarah ke hasil yang sama seperti bagian a.

Jadi, untuk kedua interpretasi (jika $S_n$ mendekati $S=2$ atau jika $S_n$ didekatkan ke 1), hasilnya adalah sama karena $(1/2)^{n-1}$ menjadi sangat kecil.