Diketahui distribusi peluang kumulatif suatu variabel acak

k=5

Pembahasan

Untuk menentukan nilai k, kita perlu menggunakan informasi bahwa F(x) adalah distribusi peluang kumulatif dan f(5) = 1/4.

Dalam tabel yang diberikan:
F(3) = 1/4
F(4) = k/12
F(5) = (k-3)/3
F(6) = k/6
F(7) = 1

Kita tahu bahwa f(x) = F(x) - F(x-1). Namun, informasi yang diberikan adalah f(5) = 1/4. Ini berarti peluang variabel acak X bernilai 5 adalah 1/4.

Dalam konteks distribusi peluang kumulatif (F(x)), f(x) biasanya merujuk pada fungsi massa peluang (probability mass function). Jadi, f(5) adalah peluang bahwa X = 5.

Dari tabel, F(5) adalah nilai kumulatif hingga X=5. F(4) adalah nilai kumulatif hingga X=4.
Oleh karena itu, f(5) = F(5) - F(4).

Kita diberikan f(5) = 1/4.
Kita juga punya F(5) = (k-3)/3 dan F(4) = k/12.

Maka, kita dapat menuliskan persamaan:
1/4 = (k-3)/3 - k/12

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita samakan penyebutnya menjadi 12:
3/12 = (4(k-3))/12 - k/12
3/12 = (4k - 12 - k)/12
3 = 4k - 12 - k
3 = 3k - 12
3 + 12 = 3k
15 = 3k
k = 15 / 3
k = 5

Mari kita periksa apakah nilai k=5 konsisten dengan F(7)=1:
F(4) = 5/12
F(5) = (5-3)/3 = 2/3
F(6) = 5/6

Sekarang, mari kita hitung nilai f(x):
f(3) = F(3) = 1/4
f(4) = F(4) - F(3) = 5/12 - 1/4 = 5/12 - 3/12 = 2/12 = 1/6
f(5) = F(5) - F(4) = 2/3 - 5/12 = 8/12 - 5/12 = 3/12 = 1/4 (Ini sesuai dengan informasi yang diberikan)
f(6) = F(6) - F(5) = 5/6 - 2/3 = 5/6 - 4/6 = 1/6
f(7) = F(7) - F(6) = 1 - 5/6 = 1/6

Jumlah semua peluang: f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = 1/4 + 1/6 + 1/4 + 1/6 + 1/6 = 3/12 + 2/12 + 3/12 + 2/12 + 2/12 = 13/12. Hasil ini tidak sama dengan 1, yang menunjukkan ada kemungkinan interpretasi lain dari soal atau ada kesalahan dalam soal.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa f(x) dalam soal merujuk pada nilai F(x) itu sendiri untuk x=5, maka:
F(5) = 1/4
(k-3)/3 = 1/4
4(k-3) = 3
4k - 12 = 3
4k = 15
k = 15/4

Mari kita cek lagi interpretasi pertama karena lebih umum.
Jika f(5) = 1/4 adalah nilai massa peluang P(X=5) = 1/4, dan F(x) adalah kumulatif, maka F(5) = P(X<=5) dan F(4) = P(X<=4).
P(X=5) = F(5) - F(4).

Dengan k=5:
F(3) = 1/4
F(4) = 5/12
F(5) = (5-3)/3 = 2/3
F(6) = 5/6
F(7) = 1

Mari kita periksa kembali asumsi bahwa F(x) adalah distribusi peluang kumulatif yang benar.
Nilai-nilai F(x) haruslah non-menurun.
1/4 = 0.25
5/12 ≈ 0.417
2/3 ≈ 0.667
5/6 ≈ 0.833
1
Nilai-nilai ini non-menurun, jadi ini adalah distribusi kumulatif yang valid.

Sekarang, kita verifikasi P(X=5) = F(5) - F(4).
F(5) - F(4) = 2/3 - 5/12 = 8/12 - 5/12 = 3/12 = 1/4.
Ini sesuai dengan informasi f(5)=1/4.

Jadi, nilai k adalah 5.

**Jawaban Ringkas:** Nilai k adalah 5.