Diketahui dua garis sejajar g dan h yang keduanya

Ada 2 titik.

Pembahasan

Diberikan dua garis sejajar g dan h, serta sebuah lingkaran L yang menyinggung kedua garis tersebut. Kita mencari banyak titik pada bidang datar yang jaraknya ke g, ke h, dan ke L sama.
Karena g dan h sejajar dan L menyinggung keduanya, jarak antara g dan h adalah diameter lingkaran L. Misalkan jarak antara g dan h adalah 2r, di mana r adalah jari-jari lingkaran L. Titik-titik yang memiliki jarak yang sama ke g dan h harus terletak pada garis yang berada tepat di tengah antara g dan h. Garis tengah ini berjarak r dari g dan r dari h.
Sekarang, kita perlu mencari titik-titik pada garis tengah ini yang jaraknya ke lingkaran L juga sama dengan r (yaitu sama dengan jaraknya ke g dan h). Jarak dari sebuah titik ke lingkaran adalah jarak terpendek dari titik tersebut ke titik mana pun pada lingkaran. Titik pada lingkaran yang terdekat dengan titik di luar lingkaran adalah titik pada garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik tersebut. Jika titik berada di dalam lingkaran, jaraknya ke lingkaran adalah nol, dan kita tidak mencari titik di dalam lingkaran.
Misalkan garis tengah adalah garis m. Pusat lingkaran L berada pada garis m. Jarak dari setiap titik pada garis m ke L adalah jarak dari titik tersebut ke pusat lingkaran dikurangi jari-jari lingkaran (jika titik di luar lingkaran) atau jari-jari lingkaran dikurangi jarak ke pusat (jika titik di dalam lingkaran). Namun, kita mencari jarak *ke* lingkaran, yang biasanya berarti jarak terpendek ke *tepi* lingkaran.
Jika sebuah titik P berada pada garis m, jarak P ke g adalah r, dan jarak P ke h adalah r. Kita ingin jarak P ke L juga sama dengan r. Jarak terpendek dari P ke lingkaran L adalah |jarak(P, pusat L) - r|. Agar jarak ini sama dengan r, maka |jarak(P, pusat L) - r| = r. Ini berarti:
1. jarak(P, pusat L) - r = r  => jarak(P, pusat L) = 2r
2. jarak(P, pusat L) - r = -r => jarak(P, pusat L) = 0 (titik P adalah pusat lingkaran)
Kasus 1: Jika jarak P ke pusat L adalah 2r. Karena P berada pada garis tengah m, dan pusat L juga berada pada garis m, maka P berjarak 2r dari pusat L. Ini berarti ada dua titik P pada garis m yang memenuhi kondisi ini: satu di satu sisi pusat dengan jarak 2r, dan satu lagi di sisi lain pusat dengan jarak 2r.
Kasus 2: Jika jarak P ke pusat L adalah 0, maka P adalah pusat lingkaran itu sendiri. Jarak pusat lingkaran ke lingkaran L adalah 0 (karena pusatnya berada di lingkaran itu sendiri). Namun, kita memerlukan jaraknya ke g dan h agar sama dengan 0, yang tidak mungkin karena g dan h sejajar dan terpisah sejauh 2r. Jadi, pusat lingkaran bukan solusi.
Oleh karena itu, hanya ada dua titik pada garis tengah m yang berjarak 2r dari pusat lingkaran, yang memenuhi kondisi jarak yang sama ke g, h, dan L (yaitu, jaraknya adalah r).