Diketahui f: R -> R dan h: R -> R dengan f(x)=3x-2 dan

Jumlah kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah 9/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai dari  `a`  terlebih dahulu, kemudian menentukan jumlah kebalikan akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan.

Langkah 1: Cari invers dari fungsi  `f(x)`.
Diketahui  `f(x) = 3x - 2`. Misalkan  `y = 3x - 2`. Untuk mencari inversnya, tukar  `x`  dan  `y`, lalu selesaikan untuk  `y`:
`x = 3y - 2`
`x + 2 = 3y`
`y = (x + 2) / 3`
Jadi,  `f^(-1)(x) = (x + 2) / 3`.

Langkah 2: Hitung  `h(x) - 3x^2`.
Diketahui  `h(x) = 3x^2 + 3`.
Maka,  `h(x) - 3x^2 = (3x^2 + 3) - 3x^2 = 3`.

Langkah 3: Cari nilai  `a`.
Kita diberikan  `a`  adalah nilai dari  `f^(-1)(h(x) - 3x^2)`.
Substitusikan hasil dari Langkah 2 ke dalam  `f^(-1)(x)`:
`a = f^(-1)(3)`
`a = (3 + 2) / 3`
`a = 5 / 3`.

Langkah 4: Tentukan jumlah kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat  `ax^2 - 9x + 4 = 0`.
Persamaan kuadratnya adalah  `(5/3)x^2 - 9x + 4 = 0`.
Untuk persamaan kuadrat  `Ax^2 + Bx + C = 0`, jika  `α`  dan  `β`  adalah akar-akarnya, maka:
Jumlah akar:  `α + β = -B/A`
Hasil kali akar:  `αβ = C/A`

Kita diminta untuk mencari jumlah kebalikan akar-akar, yaitu  `1/α + 1/β`.
`1/α + 1/β = (β + α) / αβ`

Dari persamaan  `(5/3)x^2 - 9x + 4 = 0`:
`A = 5/3`
`B = -9`
`C = 4`

Jumlah akar:  `α + β = -(-9) / (5/3) = 9 / (5/3) = 9 * (3/5) = 27/5`.
Hasil kali akar:  `αβ = 4 / (5/3) = 4 * (3/5) = 12/5`.

Jumlah kebalikan akar:  `1/α + 1/β = (α + β) / αβ = (27/5) / (12/5)`.
`1/α + 1/β = (27/5) * (5/12) = 27/12`.

Sederhanakan pecahan  `27/12`  dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
`27 ÷ 3 = 9`
`12 ÷ 3 = 4`
Jadi, jumlah kebalikan akar-akarnya adalah  `9/4`.