Diketahui f(x)=1/3 x^3+x^2-3x+11. Jika g(x) = f(1-x), maka

Interval (0, 4)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep turunan fungsi dan kaitannya dengan sifat naik/turunnya fungsi.

Soal #4: Diketahui f(x)=1/3 x^3+x^2-3x+11. Jika g(x) = f(1-x), maka g(x) naik pada .... 

Langkah 1: Cari turunan pertama dari f(x).
f'(x) = d/dx (1/3 x^3 + x^2 - 3x + 11)
f'(x) = x^2 + 2x - 3

Langkah 2: Tentukan g(x) dengan substitusi x menjadi (1-x) pada f(x).
g(x) = f(1-x) = 1/3 (1-x)^3 + (1-x)^2 - 3(1-x) + 11

Langkah 3: Cari turunan pertama dari g(x) menggunakan aturan rantai.
Misalkan u = 1-x, maka du/dx = -1.
g'(x) = d/dx [f(1-x)] = f'(1-x) * d/dx(1-x)
g'(x) = f'(1-x) * (-1)

Langkah 4: Substitusikan (1-x) ke dalam f'(x) yang sudah kita cari di Langkah 1.
f'(1-x) = (1-x)^2 + 2(1-x) - 3
f'(1-x) = (1 - 2x + x^2) + (2 - 2x) - 3
f'(1-x) = 1 - 2x + x^2 + 2 - 2x - 3
f'(1-x) = x^2 - 4x

Langkah 5: Sekarang hitung g'(x).
g'(x) = f'(1-x) * (-1)
g'(x) = (x^2 - 4x) * (-1)
g'(x) = -x^2 + 4x

Langkah 6: Fungsi g(x) naik ketika g'(x) > 0.
-x^2 + 4x > 0

Langkah 7: Selesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Faktorkan -x^2 + 4x:
x(-x + 4) > 0

Titik kritis adalah ketika x = 0 dan -x + 4 = 0 (yaitu x = 4).

Sekarang kita uji interval:
- Jika x < 0 (misal x = -1): (-1)(-(-1)+4) = (-1)(5) = -5 (negatif)
- Jika 0 < x < 4 (misal x = 1): (1)(-1+4) = (1)(3) = 3 (positif)
- Jika x > 4 (misal x = 5): (5)(-5+4) = (5)(-1) = -5 (negatif)

Agar g'(x) > 0, kita perlu interval di mana hasilnya positif, yaitu 0 < x < 4.

Jadi, g(x) naik pada interval (0, 4).

Jawaban: g(x) naik pada interval (0, 4)