Diketahui f(x)= (1+sin x)^2 (1+cosx)^4 dan f'(x) adalah

-16

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan aturan turunan rantai (chain rule) dan aturan hasil kali (product rule) dalam kalkulus.

Diketahui fungsi f(x) = (1 + sin x)^2 * (1 + cos x)^4.
Kita perlu mencari turunan pertama f(x), yaitu f'(x), dan kemudian mengevaluasinya pada x = pi/2.

Langkah 1: Tentukan turunan dari masing-masing bagian fungsi.
Misalkan u(x) = (1 + sin x)^2 dan v(x) = (1 + cos x)^4.

Turunan dari u(x) menggunakan aturan rantai:
Du = 2 * (1 + sin x)^(2-1) * d/dx(1 + sin x)
Du = 2 * (1 + sin x) * (cos x)

Turunan dari v(x) menggunakan aturan rantai:
Dv = 4 * (1 + cos x)^(4-1) * d/dx(1 + cos x)
Dv = 4 * (1 + cos x)^3 * (-sin x)

Langkah 2: Gunakan aturan hasil kali untuk mencari f'(x).
Aturan hasil kali: f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

f'(x) = [2 * (1 + sin x) * cos x] * (1 + cos x)^4 + (1 + sin x)^2 * [4 * (1 + cos x)^3 * (-sin x)]

Langkah 3: Evaluasi f'(x) pada x = pi/2.
Kita perlu mengetahui nilai sin(pi/2) dan cos(pi/2).
sin(pi/2) = 1
cos(pi/2) = 0

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam f'(x):
f'(pi/2) = [2 * (1 + sin(pi/2)) * cos(pi/2)] * (1 + cos(pi/2))^4 + (1 + sin(pi/2))^2 * [4 * (1 + cos(pi/2))^3 * (-sin(pi/2))]
f'(pi/2) = [2 * (1 + 1) * 0] * (1 + 0)^4 + (1 + 1)^2 * [4 * (1 + 0)^3 * (-1)]
f'(pi/2) = [2 * 2 * 0] * (1)^4 + (2)^2 * [4 * (1)^3 * (-1)]
f'(pi/2) = [0] * 1 + 4 * [4 * 1 * (-1)]
f'(pi/2) = 0 + 4 * [-4]
f'(pi/2) = 0 - 16
f'(pi/2) = -16

Jadi, nilai f'(pi/2) adalah -16.