Diketahui f:x->4-x^2. Jika daerah asal f adalah Df={x

Daerah hasil y=|f(x)| adalah [0, 12].

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = 4 - x^2 dengan daerah asal Df = {x | -4 < x ≤ 3, x ∈ R}.
Untuk mencari daerah hasil fungsi y = |f(x)|, kita perlu menganalisis nilai f(x) terlebih dahulu.
f(x) = 4 - x^2 adalah fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah dengan puncak di (0, 4).
Sekarang kita evaluasi nilai f(x) pada batas daerah asal:
- Saat x mendekati -4 (dari kanan), f(x) mendekati 4 - (-4)^2 = 4 - 16 = -12.
- Saat x = 3, f(x) = 4 - (3)^2 = 4 - 9 = -5.
Dalam interval (-4, 3], nilai minimum f(x) terjadi pada ujung kanan (atau mendekati ujung kiri jika nilai kuadratnya lebih besar), yaitu saat x mendekati -4, nilai f(x) mendekati -12. Nilai maksimum f(x) terjadi di puncak, yaitu saat x = 0, f(0) = 4 - 0^2 = 4.
Jadi, untuk Df = {x | -4 < x ≤ 3}, rentang nilai f(x) adalah [-12, 4].
Sekarang kita perlu mencari daerah hasil y = |f(x)|. Kita ambil nilai absolut dari rentang f(x) tersebut.
Jika f(x) berada dalam rentang [-12, 4], maka |f(x)| akan berada dalam rentang [0, 12].
Ini karena nilai negatif terbesar dari f(x) adalah -12, sehingga |f(x)| maksimumnya adalah |-12| = 12. Nilai positif terbesar dari f(x) adalah 4, sehingga |f(x)| minimumnya adalah 0 (ketika f(x) = 0), dan nilai positifnya tidak melebihi 4, sehingga nilai absolutnya juga tidak melebihi 4.
Secara formal, jika y = f(x), maka |y|:
- Jika y ≥ 0, |y| = y. Dalam kasus ini, 0 ≤ y ≤ 4, sehingga |y| adalah [0, 4].
- Jika y < 0, |y| = -y. Dalam kasus ini, -12 ≤ y < 0, sehingga -(-12) ≥ -y > -0, yang berarti 12 ≥ |y| > 0. Jadi, |y| adalah (0, 12].
Menggabungkan kedua kasus tersebut, daerah hasil y = |f(x)| adalah [0, 12].