Buktikan bahwa (3+akar(5))^n+(3-akar(5))^n habis dibagi

Menggunakan Teorema Binomial, suku-suku dengan pangkat ganjil dari $\sqrt{5}$ saling meniadakan setelah dijumlahkan, menyisakan suku-suku yang merupakan kelipatan 2.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa $(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n$ habis dibagi oleh 2, kita dapat menggunakan Teorema Binomial.

Teorema Binomial menyatakan bahwa $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.

Mari kita uraikan kedua suku tersebut:

$(3+\sqrt{5})^n = \binom{n}{0} 3^n (\sqrt{5})^0 + \binom{n}{1} 3^{n-1} (\sqrt{5})^1 + \binom{n}{2} 3^{n-2} (\sqrt{5})^2 + \binom{n}{3} 3^{n-3} (\sqrt{5})^3 + \dots + \binom{n}{n} 3^0 (\sqrt{5})^n$

$(3-\sqrt{5})^n = \binom{n}{0} 3^n (-\sqrt{5})^0 + \binom{n}{1} 3^{n-1} (-\sqrt{5})^1 + \binom{n}{2} 3^{n-2} (-\sqrt{5})^2 + \binom{n}{3} 3^{n-3} (-\sqrt{5})^3 + \dots + \binom{n}{n} 3^0 (-\sqrt{5})^n$

Perhatikan bahwa $(-\sqrt{5})^k = (-1)^k (\sqrt{5})^k$.

Sekarang, mari kita jumlahkan kedua ekspansi tersebut:
$(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^{n-k} (\sqrt{5})^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^{n-k} (-\sqrt{5})^k$
$(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^{n-k} [(\sqrt{5})^k + (-\sqrt{5})^k]$

Sekarang kita analisis suku $[(\sqrt{5})^k + (-\sqrt{5})^k]$:
- Jika $k$ genap, katakanlah $k=2m$, maka $(-\sqrt{5})^{2m} = ((-1)(\sqrt{5}))^{2m} = (-1)^{2m} (\sqrt{5})^{2m} = 1 \cdot (\sqrt{5})^{2m} = (\sqrt{5})^{2m}$.
Jadi, jika $k$ genap, $(\sqrt{5})^k + (-\sqrt{5})^k = (\sqrt{5})^k + (\sqrt{5})^k = 2 (\sqrt{5})^k$.

- Jika $k$ ganjil, katakanlah $k=2m+1$, maka $(-\sqrt{5})^{2m+1} = ((-1)(\sqrt{5}))^{2m+1} = (-1)^{2m+1} (\sqrt{5})^{2m+1} = -1 \cdot (\sqrt{5})^{2m+1} = - (\sqrt{5})^{2m+1}$.
Jadi, jika $k$ ganjil, $(\sqrt{5})^k + (-\sqrt{5})^k = (\sqrt{5})^k - (\sqrt{5})^k = 0$.

Dengan demikian, hanya suku-suku di mana $k$ genap yang akan berkontribusi pada jumlah total. Suku-suku ini semuanya akan menjadi bilangan bulat karena $(\sqrt{5})^k$ akan menjadi kelipatan dari 5 ketika $k$ genap.

$(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n = \sum_{m=0}^{\\lfloor n/2 \\rfloor} \binom{n}{2m} 3^{n-2m} [2 (\sqrt{5})^{2m}]$
$(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n = 2 \sum_{m=0}^{\\lfloor n/2 \\rfloor} \binom{n}{2m} 3^{n-2m} 5^m$

Karena setiap suku dalam penjumlahan adalah hasil kali dari bilangan bulat ($\binom{n}{2m}$, $3^{n-2m}$, dan $5^m$), hasil penjumlahannya juga merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, $(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n$ adalah 2 dikalikan dengan suatu bilangan bulat. Ini berarti ekspresi tersebut habis dibagi oleh 2.

**Bukti Alternatif menggunakan Relasi Rekursif:**
Misalkan $a_n = (3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n$.
Perhatikan bahwa $3+\sqrt{5}$ dan $3-\sqrt{5}$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $(x - (3+\sqrt{5}))(x - (3-\sqrt{5})) = 0$.
$x^2 - (3+\sqrt{5} + 3-\sqrt{5})x + (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 0$
$x^2 - 6x + (9 - 5) = 0$
$x^2 - 6x + 4 = 0$

Karena $3+\sqrt{5}$ dan $3-\sqrt{5}$ adalah akar dari persamaan ini, maka mereka memenuhi $x^2 = 6x - 4$.
Ini berarti:
$(3+\sqrt{5})^2 = 6(3+\sqrt{5}) - 4$
$(3-\sqrt{5})^2 = 6(3-\sqrt{5}) - 4$

Relasi rekursif untuk $a_n$ dapat diturunkan dari persamaan kuadrat karakteristik $x^2 - 6x + 4 = 0$. Relasi rekursifnya adalah $a_n = 6a_{n-1} - 4a_{n-2}$ untuk $n \ge 2$.

Sekarang kita periksa beberapa nilai awal:
$a_0 = (3+\sqrt{5})^0 + (3-\sqrt{5})^0 = 1 + 1 = 2$
$a_1 = (3+\sqrt{5})^1 + (3-\sqrt{5})^1 = 3+\sqrt{5} + 3-\sqrt{5} = 6$

Karena $a_0 = 2$ dan $a_1 = 6$, keduanya habis dibagi 2.

Sekarang kita gunakan induksi. Asumsikan $a_{k-1}$ dan $a_{k-2}$ habis dibagi 2 untuk beberapa $k \ge 2$. Maka $a_k = 6a_{k-1} - 4a_{k-2}$.
Karena $a_{k-1}$ dan $a_{k-2}$ habis dibagi 2, kita bisa menulis $a_{k-1} = 2p$ dan $a_{k-2} = 2q$ untuk beberapa bilangan bulat $p$ dan $q$.
$a_k = 6(2p) - 4(2q) = 12p - 8q = 2(6p - 4q)$.
Karena $6p - 4q$ adalah bilangan bulat, maka $a_k$ habis dibagi 2.

Dengan prinsip induksi matematika, $(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n$ habis dibagi oleh 2 untuk semua bilangan bulat non-negatif $n$.