Diketahui F(x)=(a+1)x^3-3bx^2+9x . Jika F''(x) habis dibagi

Kurva tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika 0 ≤ b ≤ 3 dan a = b - 1.

Pembahasan

Diketahui fungsi F(x) = (a+1)x^3 - 3bx^2 + 9x.
Untuk mencari turunan kedua F''(x), kita perlu menurunkan F(x) dua kali:

1.  **Turunan pertama F'(x):**
F'(x) = d/dx [(a+1)x^3 - 3bx^2 + 9x]
F'(x) = 3(a+1)x^2 - 6bx + 9

2.  **Turunan kedua F''(x):**
F''(x) = d/dx [3(a+1)x^2 - 6bx + 9]
F''(x) = 6(a+1)x - 6b

Diketahui bahwa F''(x) habis dibagi oleh x-1. Ini berarti bahwa jika kita mensubstitusikan x=1 ke dalam F''(x), hasilnya harus nol (berdasarkan teorema sisa).

F''(1) = 6(a+1)(1) - 6b = 0
6a + 6 - 6b = 0
6a - 6b = -6
a - b = -1

Selanjutnya, kurva y=F(x) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika F'(x) tidak pernah berubah tanda. Ini terjadi jika F'(x) selalu positif atau selalu negatif, atau jika F'(x) = 0 dan F''(x) = 0 pada titik tersebut namun tidak ada perubahan tanda di sekitarnya. Kondisi yang lebih umum agar tidak memiliki titik ekstrim lokal adalah ketika diskriminan dari F'(x) ≤ 0, atau jika F'(x) adalah kuadrat sempurna.

F'(x) = 3(a+1)x^2 - 6bx + 9
Agar F'(x) tidak pernah berubah tanda (misalnya selalu non-negatif atau selalu non-positif), diskriminan dari persamaan kuadrat ini harus kurang dari atau sama dengan nol.

Diskriminan (D) = b^2 - 4ac
Dalam kasus F'(x), a = 3(a+1), b = -6b, c = 9.

D = (-6b)^2 - 4 * 3(a+1) * 9
D = 36b^2 - 108(a+1)

Agar tidak ada titik ekstrim lokal, D ≤ 0.
36b^2 - 108(a+1) ≤ 0
36b^2 ≤ 108(a+1)
b^2 ≤ 3(a+1)

Kita juga memiliki hubungan dari F''(1) = 0, yaitu a - b = -1, atau a = b - 1.
Substitusikan a = b - 1 ke dalam ketidaksetaraan:
b^2 ≤ 3((b - 1) + 1)
b^2 ≤ 3b

Sekarang kita selesaikan ketidaksetaraan b^2 ≤ 3b:
b^2 - 3b ≤ 0
b(b - 3) ≤ 0

Ini berarti nilai b berada di antara 0 dan 3 (inklusif).
0 ≤ b ≤ 3

Karena a = b - 1, maka:
0 - 1 ≤ a ≤ 3 - 1
-1 ≤ a ≤ 2

Jadi, kurva y=F(x) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika 0 ≤ b ≤ 3 dan a = b - 1.