Diketahui f(x)=cos x/1+sin x Nilai dari f "(pi) adalah ....

Nilai dari $f"(\pi)$ adalah -1.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $f"(\pi)$ dari fungsi $f(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$, kita perlu menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut.

**Langkah 1: Cari Turunan Pertama ($f'(x)$)**

Kita gunakan aturan pembagian (quotient rule): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Misalkan $u = \cos x$ dan $v = 1 + \sin x$.
Maka $u' = -\sin x$ dan $v' = \cos x$.

$f'(x) = \frac{(-\sin x)(1 + \sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1 + \sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2}$
Karena $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, maka:
$f'(x) = \frac{-\sin x - 1}{(1 + \sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-(1 + \sin x)}{(1 + \sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-1}{1 + \sin x}$

**Langkah 2: Cari Turunan Kedua ($f"(x)$)**

Sekarang kita turunkan $f'(x) = -(1 + \sin x)^{-1}$.
Kita gunakan aturan rantai (chain rule).
$f"(x) = -(-1)(1 + \sin x)^{-2} \cdot (\cos x)$
$f"(x) = (1 + \sin x)^{-2} \cdot \cos x$
$f"(x) = \frac{\cos x}{(1 + \sin x)^2}$

**Langkah 3: Substitusikan $x = \pi$**

Sekarang kita substitusikan nilai $x = \pi$ ke dalam $f"(x)$.
Kita tahu bahwa $\cos \pi = -1$ dan $\sin \pi = 0$.

$f"(\pi) = \frac{\cos \pi}{(1 + \sin \pi)^2}$
$f"(\pi) = \frac{-1}{(1 + 0)^2}$
$f"(\pi) = \frac{-1}{1^2}$
$f"(\pi) = -1$

Jadi, nilai dari $f"(\pi)$ adalah -1.