Diketahui f(x)=cos x dan g (x)=tan x, dengan 3pi/2<=x<=2pi.

5π/3

Pembahasan

Kita diberikan fungsi f(x) = cos x dan g(x) = tan x, dengan rentang 3π/2 ≤ x ≤ 2π. Kita perlu mencari nilai x yang memenuhi persamaan 1/2 * g(x) = -f'(x).

Langkah 1: Cari turunan dari f(x).
f(x) = cos x
f'(x) = -sin x

Langkah 2: Substitusikan f'(x) dan g(x) ke dalam persamaan.
1/2 * tan x = -(-sin x)
1/2 * tan x = sin x

Langkah 3: Ubah tan x menjadi sin x / cos x.
1/2 * (sin x / cos x) = sin x

Langkah 4: Selesaikan persamaan untuk x.
Jika sin x ≠ 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan sin x.
1/2 * (1 / cos x) = 1
1 / (2 cos x) = 1
1 = 2 cos x
cos x = 1/2

Sekarang kita perlu mencari nilai x dalam rentang 3π/2 ≤ x ≤ 2π di mana cos x = 1/2.

Dalam rentang 0 ≤ x ≤ 2π, nilai cos x = 1/2 terjadi pada x = π/3 dan x = 5π/3.

Rentang yang diberikan adalah kuadran keempat (3π/2 ≤ x ≤ 2π).

Periksa nilai cos x = 1/2:
Di kuadran pertama, cos(π/3) = 1/2.
Di kuadran keempat, sudut referensinya adalah 2π - π/3 = 5π/3.

Mari kita verifikasi cos(5π/3).
cos(5π/3) = cos(2π - π/3) = cos(π/3) = 1/2.

Jadi, nilai x = 5π/3 berada dalam rentang yang diberikan (3π/2 ≤ x ≤ 2π).

Perlu juga diperiksa kasus di mana sin x = 0. Jika sin x = 0, maka x = 0, π, 2π. Dalam rentang yang diberikan, hanya x = 2π yang relevan. Jika x = 2π, maka tan(2π) = 0 dan sin(2π) = 0. Persamaan menjadi 1/2 * 0 = 0, yang benar. Namun, f'(x) = -sin x, jadi f'(2π) = 0. Maka 1/2 * g(2π) = -f'(2π) -> 1/2 * 0 = -0 -> 0 = 0. Jadi x = 2π juga memenuhi.

Namun, umumnya dalam soal seperti ini, kita mencari solusi non-trivial. Mari kita periksa kembali batasan soal dan definisi fungsi tangen. Fungsi tangen tidak terdefinisi pada x = 3π/2.

Mari kita kembali ke persamaan: 1/2 * tan x = sin x.
Jika kita tidak membagi dengan sin x:
1/2 * (sin x / cos x) = sin x
sin x / (2 cos x) = sin x
sin x / (2 cos x) - sin x = 0
sin x * (1 / (2 cos x) - 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan:
1. sin x = 0
   Dalam rentang 3π/2 ≤ x ≤ 2π, ini terjadi pada x = 2π.
   Jika x = 2π, f(x) = cos(2π) = 1, g(x) = tan(2π) = 0, f'(x) = -sin(2π) = 0.
   1/2 * g(x) = 1/2 * 0 = 0.
   -f'(x) = -0 = 0.
   0 = 0. Jadi x = 2π adalah solusi.

2. 1 / (2 cos x) - 1 = 0
   1 / (2 cos x) = 1
   1 = 2 cos x
   cos x = 1/2
   Dalam rentang 3π/2 ≤ x ≤ 2π, nilai x adalah 5π/3.
   Jika x = 5π/3, f(x) = cos(5π/3) = 1/2, g(x) = tan(5π/3) = -√3, f'(x) = -sin(5π/3) = -(-√3/2) = √3/2.
   1/2 * g(x) = 1/2 * (-√3) = -√3/2.
   -f'(x) = -(√3/2) = -√3/2.
   -√3/2 = -√3/2. Jadi x = 5π/3 adalah solusi.

Karena soal meminta 'Nilai x yang memenuhi', dan biasanya dalam konteks ini mencari solusi spesifik dari persamaan trigonometri, 5π/3 adalah jawaban yang paling mungkin dimaksud.

Jika kita menganggap 'nilai x' sebagai tunggal, maka 5π/3 adalah jawaban yang lebih umum dicari dalam soal semacam ini.