Diketahui f(x)=x^3-2x^2+6x+1. Jika x1 dan x2 adalah

-10/9

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = x^3 - 2x^2 + 6x + 1.
Langkah pertama adalah mencari turunan pertama dari f(x), yaitu f'(x).

f'(x) = d/dx (x^3 - 2x^2 + 6x + 1)
f'(x) = 3x^2 - 4x + 6

Selanjutnya, kita perlu mencari akar-akar dari f'(x) = 0. Misalkan akar-akarnya adalah x1 dan x2.
Untuk persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0, jumlah akar-akarnya (x1 + x2) adalah -b/a dan hasil kali akar-akarnya (x1 * x2) adalah c/a.

Dalam kasus f'(x) = 3x^2 - 4x + 6 = 0:
a = 3
b = -4
c = 6

x1 + x2 = -(-4)/3 = 4/3
x1 * x2 = 6/3 = 2

Kita diminta untuk mencari nilai dari x1/x2 + x2/x1. Kita bisa menyederhanakan ekspresi ini:

x1/x2 + x2/x1 = (x1^2 + x2^2) / (x1 * x2)

Untuk mencari x1^2 + x2^2, kita bisa menggunakan identitas (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2*x1*x2 + x2^2.
Jadi, x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2*x1*x2.

x1^2 + x2^2 = (4/3)^2 - 2*(2)
x1^2 + x2^2 = 16/9 - 4
x1^2 + x2^2 = 16/9 - 36/9
x1^2 + x2^2 = -20/9

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini kembali ke ekspresi awal:
x1/x2 + x2/x1 = (x1^2 + x2^2) / (x1 * x2)
x1/x2 + x2/x1 = (-20/9) / 2
x1/x2 + x2/x1 = -20/18
x1/x2 + x2/x1 = -10/9

Jadi, nilai x1/x2 + x2/x1 adalah -10/9.