Diketahui f(x)=x akar(x) dengan x e R dan x>0. Jika f'(1)

3

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = x√x, kemudian menentukan suku pertama dan kedua dari deret geometri tak hingga.

Langkah 1: Tulis ulang fungsi f(x) dalam bentuk pangkat.
f(x) = x * x^(1/2) = x^(1 + 1/2) = x^(3/2)

Langkah 2: Cari turunan pertama, f'(x), menggunakan aturan pangkat.
f'(x) = (3/2) * x^((3/2) - 1) = (3/2) * x^(1/2)

Langkah 3: Hitung nilai f'(1).
f'(1) = (3/2) * 1^(1/2) = (3/2) * 1 = 3/2
Ini adalah suku pertama (a) dari deret geometri.

Langkah 4: Cari turunan kedua, f''(x), dengan menurunkan f'(x).
f''(x) = d/dx [(3/2) * x^(1/2)] = (3/2) * (1/2) * x^((1/2) - 1) = (3/4) * x^(-1/2)

Langkah 5: Hitung nilai f''(1).
f''(1) = (3/4) * 1^(-1/2) = (3/4) * 1 = 3/4
Ini adalah suku kedua (ar) dari deret geometri.

Langkah 6: Tentukan rasio (r) deret geometri.
r = f''(1) / f'(1) = (3/4) / (3/2) = (3/4) * (2/3) = 6/12 = 1/2
Karena |r| < 1, deret ini adalah deret geometri turun tak hingga.

Langkah 7: Hitung jumlah deret geometri tak hingga menggunakan rumus S = a / (1 - r).
S = (3/2) / (1 - 1/2) = (3/2) / (1/2) = (3/2) * 2 = 3

Jadi, jumlah deret tersebut adalah 3.