Diketahui fungsi f dan g dinyatakan oleh f(x) = x^2-4x + 5

-3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari lim x->tak hingga akar(f(x))-akar(g(x)), kita perlu menganalisis perilaku fungsi f(x) = x^2-4x + 5 dan g(x) = x^2 + 2x+ 4 saat x mendekati tak hingga.

Langkah 1: Tulis ulang ekspresi di bawah akar:
akar(f(x)) = akar(x^2-4x + 5)
akar(g(x)) = akar(x^2 + 2x+ 4)

Langkah 2: Keluarkan x^2 dari dalam akar:
akar(x^2-4x + 5) = akar(x^2(1 - 4/x + 5/x^2)) = |x| akar(1 - 4/x + 5/x^2)
akar(x^2 + 2x+ 4) = akar(x^2(1 + 2/x + 4/x^2)) = |x| akar(1 + 2/x + 4/x^2)

Karena x mendekati tak hingga, maka x positif, sehingga |x| = x.
akar(f(x)) = x akar(1 - 4/x + 5/x^2)
akar(g(x)) = x akar(1 + 2/x + 4/x^2)

Langkah 3: Tulis ulang ekspresi yang akan dicari limitnya:
lim x->tak hingga [x akar(1 - 4/x + 5/x^2) - x akar(1 + 2/x + 4/x^2)]
= lim x->tak hingga x [akar(1 - 4/x + 5/x^2) - akar(1 + 2/x + 4/x^2)]

Ini adalah bentuk tak tentu 0 * tak hingga. Untuk menyelesaikannya, kita kalikan dengan bentuk sekawannya:
lim x->tak hingga x * [akar(1 - 4/x + 5/x^2) - akar(1 + 2/x + 4/x^2)] * [akar(1 - 4/x + 5/x^2) + akar(1 + 2/x + 4/x^2)] / [akar(1 - 4/x + 5/x^2) + akar(1 + 2/x + 4/x^2)]

= lim x->tak hingga x * [(1 - 4/x + 5/x^2) - (1 + 2/x + 4/x^2)] / [akar(1 - 4/x + 5/x^2) + akar(1 + 2/x + 4/x^2)]

= lim x->tak hingga x * [-6/x - 1/x^2] / [akar(1 - 4/x + 5/x^2) + akar(1 + 2/x + 4/x^2)]

= lim x->tak hingga [-6 - 1/x] / [akar(1 - 4/x + 5/x^2) + akar(1 + 2/x + 4/x^2)]

Langkah 4: Substitusikan x = tak hingga:
Saat x mendekati tak hingga, 1/x dan 1/x^2 mendekati 0.
= [-6 - 0] / [akar(1 - 0 + 0) + akar(1 + 0 + 0)]
= -6 / [akar(1) + akar(1)]
= -6 / (1 + 1)
= -6 / 2
= -3