Diketahui fungsi f: R->R dengan f(x)=x^2-2x-3. Tentukan: a.

f^-1(x) = 1 ± sqrt(4 + x), f^-1(5) = 4 atau -2, a = 12.

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = x^2 - 2x - 3.

a. Mencari rumus dari f^-1(x):
Untuk mencari fungsi invers, kita ganti f(x) dengan y:
y = x^2 - 2x - 3
Kemudian, tukar x dan y:
x = y^2 - 2y - 3
Susun ulang persamaan untuk menyelesaikan y:
y^2 - 2y - (3 + x) = 0
Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk ay^2 + by + c = 0, dengan a=1, b=-2, dan c=-(3+x).
Gunakan rumus kuadrat untuk mencari y:
y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
y = [ -(-2) ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-(3+x))) ] / 2(1)
y = [ 2 ± sqrt(4 + 4(3+x)) ] / 2
y = [ 2 ± sqrt(4 + 12 + 4x) ] / 2
y = [ 2 ± sqrt(16 + 4x) ] / 2
y = [ 2 ± sqrt(4(4 + x)) ] / 2
y = [ 2 ± 2 sqrt(4 + x) ] / 2
y = 1 ± sqrt(4 + x)

Karena fungsi kuadrat tidak memiliki invers tunggal kecuali dibatasi domainnya, biasanya kita mengambil salah satu cabang. Namun, untuk keperluan soal ini, kita akan menyajikan kedua kemungkinan atau akan menggunakan informasi dari bagian b dan c.

b. Mencari nilai dari f^-1(5):
Kita perlu mencari nilai x sehingga f(x) = 5.
Jadi, x^2 - 2x - 3 = 5
x^2 - 2x - 8 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 4)(x + 2) = 0
Solusinya adalah x = 4 atau x = -2.

Dengan demikian, f^-1(5) bisa bernilai 4 atau -2, tergantung pada domain yang dipilih untuk fungsi f.

c. Mencari nilai a jika f^-1(a) = 5:
Ini berarti f(5) = a.
Hitung f(5):
f(5) = (5)^2 - 2(5) - 3
f(5) = 25 - 10 - 3
f(5) = 12

Jadi, nilai a adalah 12.