Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P dan Q

3√6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari jarak titik H ke garis AC pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada rusuk HG dan BC dengan HP = 2 cm dan BQ = 3 cm.

Pertama, mari kita tentukan koordinat titik-titik pada kubus. Misalkan A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0), E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6).

Titik P pada HG dengan HP = 2 cm. Karena H=(0,6,6) dan G=(6,6,6), maka P = H + (2/6)*(G-H) = (0,6,6) + (1/3)*(6,0,0) = (0,6,6) + (2,0,0) = (2,6,6).

Titik Q pada BC dengan BQ = 3 cm. Karena B=(6,0,0) dan C=(6,6,0), maka Q = B + (3/6)*(C-B) = (6,0,0) + (1/2)*(0,6,0) = (6,0,0) + (0,3,0) = (6,3,0).

Kita perlu mencari jarak titik H ke garis AC. Titik H memiliki koordinat (0,6,6).
Garis AC melewati titik A=(0,0,0) dan C=(6,6,0). Vektor arah garis AC adalah AC = C - A = (6,6,0).

Persamaan garis AC dapat ditulis sebagai r = A + t*AC = (0,0,0) + t*(6,6,0) = (6t, 6t, 0).

Jarak dari titik H ke garis AC dapat dihitung menggunakan rumus jarak titik ke garis: Jarak = |(AH) x AC| / |AC|.

AH = H - A = (0,6,6) - (0,0,0) = (0,6,6).

(AH) x AC = (0,6,6) x (6,6,0)
= (6*0 - 6*6, 6*6 - 0*0, 0*6 - 6*6)
= (-36, 36, -36)

|(AH) x AC| = sqrt((-36)^2 + 36^2 + (-36)^2)
= sqrt(1296 + 1296 + 1296)
= sqrt(3 * 1296) = sqrt(3) * 36

|AC| = sqrt(6^2 + 6^2 + 0^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6*sqrt(2)

Jarak = (36*sqrt(3)) / (6*sqrt(2))
= 6 * sqrt(3/2)
= 6 * (sqrt(6)/2)
= 3*sqrt(6)

Namun, soal meminta jarak titik H ke garis AC, bukan titik P atau Q. Informasi tentang P dan Q tidak relevan untuk pertanyaan ini.

Mari kita hitung ulang jarak titik H ke garis AC.
Titik H = (0,6,6). Garis AC dimulai dari A=(0,0,0) ke C=(6,6,0).
Vektor AC = (6,6,0). Panjang |AC| = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(72) = 6*sqrt(2).

Titik pada garis AC dapat direpresentasikan sebagai (6t, 6t, 0).
Jarak kuadrat dari H ke titik pada garis AC adalah:
d^2 = (6t - 0)^2 + (6t - 6)^2 + (0 - 6)^2
d^2 = (6t)^2 + (6t - 6)^2 + (-6)^2
d^2 = 36t^2 + 36t^2 - 72t + 36 + 36
d^2 = 72t^2 - 72t + 72

Untuk mencari jarak minimum, kita turunkan d^2 terhadap t dan samakan dengan 0:
d(d^2)/dt = 144t - 72
144t - 72 = 0
144t = 72
t = 72/144 = 1/2

Sekarang substitusikan t = 1/2 ke dalam d^2:
d^2 = 72*(1/2)^2 - 72*(1/2) + 72
d^2 = 72*(1/4) - 36 + 72
d^2 = 18 - 36 + 72
d^2 = 54

d = sqrt(54) = sqrt(9*6) = 3*sqrt(6).

Jawaban yang benar adalah 3*sqrt(6) cm.