Diketahui fungsi f(x)=1/3 x^3-3/2 x^2-10x+4 untuk domain

Fungsi memiliki maksimum lokal di (-2, 46/3) dan minimum lokal di (5, -251/6).

Pembahasan

Untuk menentukan pernyataan yang benar mengenai grafik fungsi f(x) = 1/3 x^3 - 3/2 x^2 - 10x + 4 pada interval -7 < x < 7, kita perlu menganalisis turunan pertama dan kedua fungsi tersebut:

1.  **Turunan Pertama (f'(x)) untuk mencari titik kritis (maksimum/minimum lokal):
    f'(x) = d/dx (1/3 x^3 - 3/2 x^2 - 10x + 4)
          = x^2 - 3x - 10

    Untuk mencari titik kritis, kita set f'(x) = 0:
    x^2 - 3x - 10 = 0
    (x - 5)(x + 2) = 0
    Jadi, titik kritis berada di x = 5 dan x = -2.

2.  **Turunan Kedua (f''(x)) untuk menentukan kecekungan dan titik belok:
    f''(x) = d/dx (x^2 - 3x - 10)
          = 2x - 3

3.  **Menganalisis titik kritis:
    *   Di x = -2:
        f''(-2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7
        Karena f''(-2) < 0, maka di x = -2 terdapat maksimum lokal.
        Nilai f(-2) = 1/3(-2)^3 - 3/2(-2)^2 - 10(-2) + 4
                  = 1/3(-8) - 3/2(4) + 20 + 4
                  = -8/3 - 6 + 24
                  = -8/3 + 18
                  = (-8 + 54)/3 = 46/3
        Jadi, titik maksimum lokal adalah (-2, 46/3).

    *   Di x = 5:
        f''(5) = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7
        Karena f''(5) > 0, maka di x = 5 terdapat minimum lokal.
        Nilai f(5) = 1/3(5)^3 - 3/2(5)^2 - 10(5) + 4
                  = 1/3(125) - 3/2(25) - 50 + 4
                  = 125/3 - 75/2 - 46
                  = (250 - 225)/6 - 46
                  = 25/6 - 46
                  = (25 - 276)/6 = -251/6
        Jadi, titik minimum lokal adalah (5, -251/6).

4.  **Menganalisis titik belok:
    Untuk mencari titik belok, kita set f''(x) = 0:
    2x - 3 = 0
    x = 3/2

    Nilai f(3/2) = 1/3(3/2)^3 - 3/2(3/2)^2 - 10(3/2) + 4
                 = 1/3(27/8) - 3/2(9/4) - 15 + 4
                 = 9/8 - 27/8 - 11
                 = -18/8 - 11
                 = -9/4 - 11
                 = (-9 - 44)/4 = -53/4
    Jadi, titik belok berada di (3/2, -53/4).

5.  **Pernyataan yang benar mengenai grafik fungsi:**
    Berdasarkan analisis di atas, pernyataan yang benar bisa berkaitan dengan:
    *   Fungsi memiliki maksimum lokal di (-2, 46/3).
    *   Fungsi memiliki minimum lokal di (5, -251/6).
    *   Fungsi memiliki titik belok di (3/2, -53/4).
    *   Fungsi naik pada interval (-∞, -2) dan (5, ∞).
    *   Fungsi turun pada interval (-2, 5).
    *   Fungsi cekung ke bawah pada interval (-∞, 3/2).
    *   Fungsi cekung ke atas pada interval (3/2, ∞).

    Tanpa pilihan jawaban spesifik, kita dapat menyimpulkan sifat-sifat grafik tersebut.