Seorang pedagang buah-buahan menjual apel dan jeruk di

Model matematika: Maksimalkan Z = 4000x + 3000y dengan kendala x + y ≤ 150, 9x + 5y ≤ 1250, x ≥ 0, y ≥ 0. Untuk keuntungan maksimum, jual 125 kg apel dan 25 kg jeruk, menghasilkan keuntungan Rp575.000,00.

Pembahasan

Mari kita analisis masalah ini langkah demi langkah:

**Informasi yang Diberikan:**
*   Harga jual apel: Rp22.000,00/kg
*   Keuntungan apel: Rp4.000,00/kg
*   Harga jual jeruk: Rp13.000,00/kg
*   Keuntungan jeruk: Rp3.000,00/kg
*   Batas penjualan total (apel + jeruk): paling banyak 150 kg/hari
*   Modal: Rp2.500.000,00

**a. Menentukan Model Matematika:**

*   **Variabel Keputusan:**
    Misalkan:
    x = jumlah kg apel yang dijual per hari
    y = jumlah kg jeruk yang dijual per hari

*   **Fungsi Tujuan (Keuntungan Maksimum):
    Keuntungan per kg apel = Harga Jual - Harga Beli
    Harga Beli Apel = Rp22.000,00 - Rp4.000,00 = Rp18.000,00
    Keuntungan per kg jeruk = Harga Jual - Harga Beli
    Harga Beli Jeruk = Rp13.000,00 - Rp3.000,00 = Rp10.000,00

    Fungsi keuntungan (Z) adalah jumlah keuntungan dari penjualan apel dan jeruk:
    Z = (Keuntungan Apel per kg * x) + (Keuntungan Jeruk per kg * y)
    **Z = 4000x + 3000y**

*   **Fungsi Kendala:**
    1.  Kendala Kapasitas Penjualan:
        Jumlah total apel dan jeruk yang dijual tidak boleh melebihi 150 kg.
        **x + y ≤ 150**

    2.  Kendala Modal:
        Total biaya pembelian apel dan jeruk tidak boleh melebihi modal yang tersedia.
        (Harga Beli Apel * x) + (Harga Beli Jeruk * y) ≤ Modal
        **18000x + 10000y ≤ 2500000**
        Disederhanakan dengan membagi 1000:
        **18x + 10y ≤ 2500**
        Atau dibagi 2:
        **9x + 5y ≤ 1250**

    3.  Kendala Non-negatif (jumlah buah tidak mungkin negatif):
        **x ≥ 0**
        **y ≥ 0**

    Jadi, model matematikanya adalah:
    Maksimalkan Z = 4000x + 3000y
    Dengan kendala:
    x + y ≤ 150
    9x + 5y ≤ 1250
    x ≥ 0
    y ≥ 0

**b. Menentukan Banyak Buah Apel dan Jeruk untuk Keuntungan Maksimum:**

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut dan mengevaluasi fungsi tujuan di titik-titik tersebut.

*   **Titik Potong Kendala:**
    1.  Titik potong x + y = 150 dengan sumbu x (y=0):
        x + 0 = 150 => x = 150. Titik (150, 0).
    2.  Titik potong x + y = 150 dengan sumbu y (x=0):
        0 + y = 150 => y = 150. Titik (0, 150).
    3.  Titik potong 9x + 5y = 1250 dengan sumbu x (y=0):
        9x + 0 = 1250 => x = 1250/9 ≈ 138.89. Titik (1250/9, 0).
    4.  Titik potong 9x + 5y = 1250 dengan sumbu y (x=0):
        0 + 5y = 1250 => y = 250. Titik (0, 250).
    5.  Titik potong antara x + y = 150 dan 9x + 5y = 1250:
        Dari x + y = 150, kita dapatkan y = 150 - x.
        Substitusikan ke persamaan kedua:
        9x + 5(150 - x) = 1250
        9x + 750 - 5x = 1250
        4x = 1250 - 750
        4x = 500
        x = 125
        Substitusikan x = 125 ke y = 150 - x:
        y = 150 - 125
        y = 25
        Titik potongnya adalah (125, 25).

*   **Titik-titik Pojok yang Memenuhi Kendala:**
    Kita perlu memeriksa kendala x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 150, dan 9x + 5y ≤ 1250.
    -   Titik (0, 0): Memenuhi semua kendala.
    -   Titik (1250/9, 0) ≈ (138.89, 0): Memenuhi x+y ≤ 150 (karena 138.89 < 150). Titik ini valid.
    -   Titik (0, 150): Memenuhi 9x+5y ≤ 1250 (karena 9(0)+5(150) = 750 ≤ 1250). Titik ini valid.
    -   Titik (125, 25): Memenuhi semua kendala (125+25 = 150 ≤ 150 dan 9(125)+5(25) = 1125+125 = 1250 ≤ 1250). Titik ini valid.

    Titik pojok yang relevan adalah (0, 0), (1250/9, 0), (0, 150), dan (125, 25).

*   **Evaluasi Fungsi Tujuan (Z = 4000x + 3000y) di Titik Pojok:**
    -   Di (0, 0): Z = 4000(0) + 3000(0) = 0
    -   Di (1250/9, 0): Z = 4000(1250/9) + 3000(0) = 5000000/9 ≈ 555.555,56
    -   Di (0, 150): Z = 4000(0) + 3000(150) = 450.000
    -   Di (125, 25): Z = 4000(125) + 3000(25) = 500.000 + 75.000 = 575.000

    Keuntungan maksimum diperoleh pada titik (125, 25).
    Jadi, pedagang tersebut harus menjual 125 kg apel dan 25 kg jeruk setiap hari.

**c. Menghitung Keuntungan Maksimum:**

Keuntungan maksimum adalah nilai Z di titik pojok yang memberikan nilai terbesar, yaitu di titik (125, 25).
Keuntungan Maksimum = Rp575.000,00.