Diketahui fungsi f(x)=(5x+3)/(2x-1), x =/= 1/2 dan g(x)=3

a. (5x - 1) / (2x - 7), b. (x + 7) / (2x - 19)

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari (f o g⁻¹)(x) dan (f⁻¹ o g⁻¹)(x), kita perlu mencari invers dari fungsi g(x) terlebih dahulu, kemudian mencari invers dari fungsi f(x), dan terakhir melakukan komposisi fungsi.

Diketahui:
f(x) = (5x + 3) / (2x - 1)
g(x) = 3x + 2

a. Mencari (f o g⁻¹)(x)

Langkah 1: Cari g⁻¹(x).
Misalkan y = g(x), maka y = 3x + 2.
Tukarkan x dan y: x = 3y + 2.
Selesaikan untuk y:
x - 2 = 3y
y = (x - 2) / 3.
Jadi, g⁻¹(x) = (x - 2) / 3.

Langkah 2: Cari f⁻¹(x).
Misalkan y = f(x), maka y = (5x + 3) / (2x - 1).
Tukarkan x dan y: x = (5y + 3) / (2y - 1).
Selesaikan untuk y:
x(2y - 1) = 5y + 3
2xy - x = 5y + 3
2xy - 5y = x + 3
y(2x - 5) = x + 3
y = (x + 3) / (2x - 5).
Jadi, f⁻¹(x) = (x + 3) / (2x - 5).

Langkah 3: Hitung (f o g⁻¹)(x) = f(g⁻¹(x)).
Substitusikan g⁻¹(x) ke dalam f(x):
f(g⁻¹(x)) = f((x - 2) / 3)
= (5 * ((x - 2) / 3) + 3) / (2 * ((x - 2) / 3) - 1)
= ((5x - 10) / 3 + 3) / ((2x - 4) / 3 - 1)
= ((5x - 10 + 9) / 3) / ((2x - 4 - 3) / 3)
= (5x - 1) / (2x - 7).

Jadi, (f o g⁻¹)(x) = (5x - 1) / (2x - 7).

b. Mencari (f⁻¹ o g⁻¹)(x)

Ini sama dengan mencari (f⁻¹)'(x) jika f⁻¹ adalah invers dari f, dan mencari (g⁻¹)'(x) jika g⁻¹ adalah invers dari g. Namun, soal meminta komposisi fungsi invers.
Kita akan mencari (f⁻¹ o g⁻¹)(x) = f⁻¹(g⁻¹(x)).

Substitusikan g⁻¹(x) ke dalam f⁻¹(x):
f⁻¹(g⁻¹(x)) = f⁻¹((x - 2) / 3)
= (((x - 2) / 3) + 3) / (2 * ((x - 2) / 3) - 5)
= ((x - 2 + 9) / 3) / ((2x - 4) / 3 - 5)
= ((x + 7) / 3) / ((2x - 4 - 15) / 3)
= (x + 7) / (2x - 19).

Jadi, (f⁻¹ o g⁻¹)(x) = (x + 7) / (2x - 19).