Diketahui fungsi f(x) = (akar(x) + cos x)^4. Turunan

$f'(x) = 4(\sqrt{x} + \cos x)^3 (\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sin x)$

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f(x) = (\sqrt{x} + \cos x)^4$, kita akan menggunakan aturan rantai (chain rule).

Aturan rantai menyatakan bahwa jika $f(x) = [u(x)]^n$, maka $f'(x) = n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$.

Dalam kasus ini, kita bisa menetapkan:
$u(x) = \sqrt{x} + \cos x$
$n = 4$

Sekarang kita perlu mencari turunan dari $u(x)$, yaitu $u'(x)$.
Turunan dari $\sqrt{x}$ (atau $x^{1/2}$) adalah $(1/2)x^{-1/2} = 1/(2\sqrt{x})$.
Turunan dari $\cos x$ adalah $-\sin x$.

Jadi, $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \sin x$.

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam rumus aturan rantai:
$f'(x) = n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$
$f'(x) = 4(\sqrt{x} + \cos x)^{4-1} \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sin x)$
$f'(x) = 4(\sqrt{x} + \cos x)^3 \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sin x)$

Kita bisa mendistribusikan angka 4 ke dalam kurung kedua untuk penyederhanaan lebih lanjut:
$f'(x) = (\sqrt{x} + \cos x)^3 \cdot (4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 4 \sin x)$
$f'(x) = (\sqrt{x} + \cos x)^3 \cdot (\frac{2}{\sqrt{x}} - 4 \sin x)$

Jadi, turunan pertama dari fungsi $f(x) = (\sqrt{x} + \cos x)^4$ adalah $f'(x) = 4(\sqrt{x} + \cos x)^3 (\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sin x)$ atau $f'(x) = (\sqrt{x} + \cos x)^3 (\frac{2}{\sqrt{x}} - 4 \sin x)$.