Diketahui fungsi f(x)=sin ax+cos bx. Jika f'(0)=b dan

Tidak dapat ditentukan karena kontradiksi pada soal.

Pembahasan

Fungsi yang diberikan adalah f(x) = sin(ax) + cos(bx). Turunan pertama dari fungsi ini adalah f'(x) = a*cos(ax) - b*sin(bx).
Diketahui f'(0) = b. Maka, a*cos(a*0) - b*sin(b*0) = b. Karena cos(0) = 1 dan sin(0) = 0, maka a*1 - b*0 = b, sehingga a = b.
Diketahui f'(pi/(2a)) = 0. Maka, a*cos(a*pi/(2a)) - b*sin(b*pi/(2a)) = 0. Ini menjadi a*cos(pi/2) - b*sin(b*pi/(2a)) = 0. Karena cos(pi/2) = 0, maka 0 - b*sin(b*pi/(2a)) = 0. Ini berarti sin(b*pi/(2a)) = 0. Agar sinus bernilai 0, argumennya harus merupakan kelipatan dari pi. Jadi, b*pi/(2a) = n*pi, di mana n adalah bilangan bulat. Maka, b/(2a) = n.
Karena kita sudah tahu a = b, maka a/(2a) = n, atau 1/2 = n. Namun, n haruslah bilangan bulat. Mari kita tinjau kembali:
f'(pi/(2a)) = 0 => a*cos(pi/2) - b*sin(b*pi/(2a)) = 0
0 - b*sin(b*pi/(2a)) = 0
Karena b tidak nol (agar f'(0) = b tidak nol), maka sin(b*pi/(2a)) harus sama dengan 0.
Ini berarti b*pi/(2a) = k*pi untuk suatu bilangan bulat k.
b/(2a) = k.
Karena a = b, maka a/(2a) = k, sehingga 1/2 = k. Ini tidak mungkin jika k adalah bilangan bulat.
Mari kita periksa kembali soalnya, kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau informasi yang diberikan.
Asumsikan f'(pi/(2a)) = 0 mengacu pada kondisi di mana turunan pertama bernilai nol. Jika kita gunakan a=b, maka f'(x) = a*cos(ax) - a*sin(ax).
f'(pi/(2a)) = a*cos(a*pi/(2a)) - a*sin(a*pi/(2a)) = a*cos(pi/2) - a*sin(pi/2) = a*0 - a*1 = -a.
Jika f'(pi/(2a)) = 0, maka -a = 0, yang berarti a = 0. Tapi jika a = 0, maka f'(0) = 0, bukan b.
Mari kita coba interpretasi lain. Jika f'(pi/(2a)) = 0, maka cos(a * pi/(2a)) = cos(pi/2) = 0 dan sin(b * pi/(2a)) = 0.
Agar sin(b*pi/(2a)) = 0, maka b*pi/(2a) = n*pi, sehingga b/2a = n.
Jika a = b, maka a/2a = n, atau 1/2 = n. Ini masih masalah.
Mari kita asumsikan bahwa f'(pi/(2a)) = 0 berarti cos(a*pi/(2a)) - (b/a)*sin(b*pi/(2a)) = 0.
Dengan a=b, maka cos(pi/2) - sin(pi/2) = 0 - 1 = -1. Jadi, f'(pi/(2a)) = -a.
Jika f'(pi/(2a)) = 0 maka a=0, yang bertentangan dengan f'(0)=b.
Ada kemungkinan interpretasi bahwa x = pi/(2a) adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol.
Mari kita gunakan a = b. Maka f'(x) = a cos(ax) - a sin(ax). Agar f'(x) = 0, maka cos(ax) = sin(ax), yang berarti tan(ax) = 1. Maka ax = pi/4 + n*pi. Jika kita ambil x = pi/(2a), maka a*(pi/(2a)) = pi/2. tan(pi/2) tidak terdefinisi. Kemungkinan ada kesalahan pada soal.
Jika kita menganggap soalnya adalah f(x) = sin(ax) + cos(ax), maka f'(x) = a cos(ax) - a sin(ax). f'(0) = a. Jadi b=a. f'(pi/(2a)) = a cos(pi/2) - a sin(pi/2) = -a. Jika -a=0 maka a=0, b=0, f'(0)=0. Ini tidak cocok. 
Asumsikan soalnya adalah f(x) = sin(ax) + cos(bx). f'(x) = a cos(ax) - b sin(bx). f'(0) = a cos(0) - b sin(0) = a. Jadi a = b.
f'(pi/(2a)) = a cos(a*pi/(2a)) - b sin(b*pi/(2a)) = a cos(pi/2) - b sin(b*pi/(2a)) = -b sin(b*pi/(2a)).
Jika -b sin(b*pi/(2a)) = 0, dan b tidak nol, maka sin(b*pi/(2a)) = 0.
Ini berarti b*pi/(2a) = n*pi untuk bilangan bulat n.
b/2a = n.
Karena a = b, maka a/2a = n, yaitu 1/2 = n. Ini adalah kontradiksi karena n harus bilangan bulat.
Mari kita coba jika f'(pi/(2a))=0 berarti cos(a*pi/(2a))=0. Ini terjadi jika a*pi/(2a) = pi/2 + k*pi, yaitu pi/2 = pi/2 + k*pi. Maka k=0. Ini selalu benar. Namun, kita masih punya suku -b sin(b*pi/(2a)). Agar suku ini nol, sin(b*pi/(2a)) harus nol. Seperti sebelumnya, ini mengarah pada kontradiksi.
Kemungkinan lain adalah f'(x) = a cos(ax) + b sin(bx). Maka f'(0) = a. Jadi a=b. f'(pi/(2a)) = a cos(pi/2) + b sin(b*pi/(2a)) = b sin(b*pi/(2a)). Jika ini nol, maka sin(b*pi/(2a)) = 0, yang mengarah pada kontradiksi yang sama.
Karena soal tidak dapat diselesaikan dengan informasi yang diberikan karena adanya kontradiksi matematis, kita tidak dapat menentukan nilai a+b.