Diketahui fungsi f(x)=sin x/(1-cos x). Garis singgung

a. Persamaan garis singgung: y = -1/2 x + pi/2. b. Titik potong sumbu Y: (0, pi/2).

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung dan titik potongnya, kita perlu menggunakan turunan dari fungsi yang diberikan.

Fungsi: f(x) = sin x / (1 - cos x)

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x) menggunakan aturan kuosien (u/v)' = (u'v - uv') / v^2
Misalkan u = sin x, maka u' = cos x
Misalkan v = 1 - cos x, maka v' = sin x

f'(x) = [ (cos x)(1 - cos x) - (sin x)(sin x) ] / (1 - cos x)^2
f'(x) = [ cos x - cos^2 x - sin^2 x ] / (1 - cos x)^2
Karena cos^2 x + sin^2 x = 1, maka:
f'(x) = [ cos x - 1 ] / (1 - cos x)^2
f'(x) = - (1 - cos x) / (1 - cos x)^2
f'(x) = - 1 / (1 - cos x)

Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung di x = pi.
Gradien (m) = f'(pi)
m = -1 / (1 - cos pi)
Kita tahu bahwa cos pi = -1.
m = -1 / (1 - (-1))
m = -1 / (1 + 1)
m = -1 / 2

Langkah 3: Tentukan titik singgung (x, y) di x = pi.
x = pi
y = f(pi) = sin pi / (1 - cos pi)
Kita tahu bahwa sin pi = 0 dan cos pi = -1.
y = 0 / (1 - (-1))
y = 0 / 2
y = 0
Jadi, titik singgungnya adalah (pi, 0).

Langkah 4: Tentukan persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1).
y - 0 = (-1/2)(x - pi)
y = (-1/2)x + pi/2

a. Persamaan garis singgungnya adalah y = -1/2 x + pi/2.

b. Tentukan titik potong garis singgung dengan sumbu Y.
Titik potong dengan sumbu Y terjadi ketika x = 0.
Substitusikan x = 0 ke dalam persamaan garis singgung:
y = (-1/2)(0) + pi/2
y = 0 + pi/2
y = pi/2

b. Titik potong garis singgung di x = pi terhadap sumbu Y adalah (0, pi/2).