Diketahui fungsi f(x) = sin x Buktikan bahwa turunan fungsi

Turunan dari f(x) = sin x adalah f'(x) = cos x, dibuktikan menggunakan definisi turunan dan identitas trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa turunan dari f(x) = sin x adalah f'(x) = cos x, kita dapat menggunakan definisi turunan:

f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h

Substitusikan f(x) = sin x:

f'(x) = lim (h->0) [sin(x+h) - sin x] / h

Gunakan identitas trigonometri sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B:

f'(x) = lim (h->0) [sin x cos h + cos x sin h - sin x] / h

Kelompokkan suku-suku yang mengandung sin x:

f'(x) = lim (h->0) [sin x (cos h - 1) + cos x sin h] / h

Pisahkan limit menjadi dua bagian:

f'(x) = lim (h->0) [sin x (cos h - 1) / h] + lim (h->0) [cos x sin h / h]

Keluarkan sin x dan cos x dari limit karena mereka tidak bergantung pada h:

f'(x) = sin x * lim (h->0) [(cos h - 1) / h] + cos x * lim (h->0) [sin h / h]

Kita tahu bahwa:
lim (h->0) [(cos h - 1) / h] = 0
lim (h->0) [sin h / h] = 1

Substitusikan nilai limit tersebut:

f'(x) = sin x * 0 + cos x * 1
f'(x) = 0 + cos x
f'(x) = cos x

Terbukti bahwa turunan dari f(x) = sin x adalah f'(x) = cos x.